ФракталыТреугольник Серпинского

Вот несколько примеров облицовки полов из разных церквей в Риме:

Как оказалось, треугольник Серпинского появляется во многих других областях математики, и есть много различных способов его построить. В этой главе мы рассмотрим некоторые из них! Продолжить

Треугольник Паскаля

Возможно, вы уже помните треугольник Серпинского из нашей главы о треугольнике Паскаля. Это числовая пирамида, в которой каждое число является суммой двух чисел над ним. Нажмите на все четные числа в треугольнике ниже, чтобы выделить их - и посмотрите, заметите ли вы закономерность:

Треугольник Паскаля можно достраивать бесконечно, и паттерн Серпинского будет продолжаться, создавая треугольники все больше и больше. Вы уже можете увидеть начало большого треугольника, который начинается на строке 16.

Если две соседние ячейки делятся на 2, то их сумма в ячейке под ними также должна делиться на 2 - поэтому четные числа выстраиваются в треугольники (или одиночные ячейки). Конечно, мы можем также попытаться раскрасить ячейки, кратные числам отличным от 2. Как вы думаете, что произойдет в этих случаях? Продолжить

Здесь вы можете увидеть миниатюрную версию первых 128 рядов треугольника Паскаля. Мы выделили все ячейки, которые делятся на ${n} - что вы заметили?

Для любого числа мы получаем картинку, похожую на треугольник Серпинского. Картинка будет более систематична, если мы выберем простое числочетное числочисло Фибоначчи. Если число будет иметь много различных простых делителей, то картинка становится более рандомной.

Игры хаоса

Этот процесс называется Игры хаоса. В начале может быть несколько случайных точек, но если вы будете повторяете одни и те же шаги много раз, распределение точек начинает выглядеть точно так же, как треугольник Серпинского!

Есть много других версий подобных построений - например, мы могли бы начать с квадрата или пятиугольника, мы могли бы добавить дополнительные правила, такие как невозможность выбрать одну и ту же вершину два раза подряд, или мы могли бы ставить следующую точку не на 12 отрезка. В некоторых из этих случаев мы просто получим случайное распределение точек, но в других случаях мы получим еще больше фракталов:

У вас получилось построить ковер Серпинского или пятиугольную снежинку на основе Золотого сечения?

Клеточный автомат

Клеточный автомат - это сетка, состоящая из множества отдельных ячеек. Каждая ячейка может находиться в разных «состояниях» (например, быть окрашена в разные цвета), и состояние одной клеточки зависит от состояния окружающих ячеек.

В нашем примере каждая ячейка может быть либо черной, либо белой. Мы начинаем с верхней строки, которая содержит только одну черную ячейку. В каждой следующей строке цвет ячейки определяется тремя клеточками, расположенными над ней. Включите любые правила окрашивания из восьми возможных вариантов ниже, чтобы заполнить все поле. Сможете ли вы найти набор правил, который создаст узор, похожий на треугольник Серпинского?

Существует два варианта окрашивания нижней ячейки для каждого из восьми правил, что означает, что в общей сложности существует 28= возможных правил. Некоторые из них, например как Правило 126, выглядят как треугольник Серпинского. Другие, такие как Правило 30, выглядят совершенно хаотично. Это правило было обнаружено Стивеном Вольфрамом в 1983 году, и его могут даже использовать для генерации случайных чисел!

Тетраэдр Серпинского

Существует много вариантов треугольника Серпинского и других фракталов со схожими свойствами и процессами создания. Некоторые выглядят двумерными, как ковер Серпинского, который вы видели выше. Другие выглядят трехмерными, как эти примеры: