Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

ФракталыТреугольник Серпинского

Время чтения: ~20 min

Одним из фракталов, которые мы увидели в предыдущей главе, был треугольник Серпинского, названный в честь польского математика Вацлава Серпинского. Его можно создать, начав с одного большого равностороннего треугольника, а затем многократно вырезая меньшие треугольники из его центра.

Вацлав Серпинский был первым математиком, который задумался о свойствах этого треугольника, однако сама фигура появилась много веков назад в произведениях искусства, узорах и мозаиках.

Вот несколько примеров облицовки полов из разных церквей в Риме:

Как оказалось, треугольник Серпинского появляется во многих других областях математики, и есть много различных способов его построить. В этой главе мы рассмотрим некоторые из них!

Треугольник Паскаля

Возможно, вы уже помните треугольник Серпинского из нашей главы о треугольнике Паскаля. Это числовая пирамида, в которой каждое число является суммой двух чисел над ним. Нажмите на все четные числа в треугольнике ниже, чтобы выделить их - и посмотрите, заметите ли вы закономерность:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

Треугольник Паскаля можно достраивать бесконечно, и паттерн Серпинского будет продолжаться, создавая треугольники все больше и больше. Вы уже можете увидеть начало большого треугольника, который начинается на строке 16.

Если две соседние ячейки делятся на 2, то их сумма в ячейке под ними также должна делиться на 2 - поэтому четные числа выстраиваются в треугольники (или одиночные ячейки). Конечно, мы можем также попытаться раскрасить ячейки, кратные числам отличным от 2. Как вы думаете, что произойдет в этих случаях?

Делится на ${n}:

Здесь вы можете увидеть миниатюрную версию первых 128 рядов треугольника Паскаля. Мы выделили все ячейки, которые делятся на ${n} - что вы заметили?

Для любого числа мы получаем картинку, похожую на треугольник Серпинского. Картинка будет более систематична, если мы выберем . Если число будет иметь много различных простых делителей, то картинка становится более рандомной.

Игры хаоса

Здесь вы можете увидеть три вершины равностороннего треугольника. Нажмите где-нибудь в серой области, чтобы создать четвертую точку.

Давайте играть в простую игру: мы выбираем одну из вершин треугольника случайным образом, рисуем отрезок прямой между нашей точкой и вершиной треугольника, а затем находим среднюю точку этого отрезка.

Теперь мы повторяем процесс: мы выбираем случайную вершину, рисуем отрезок от нашей последней точки, а затем находим среднюю точку. Обратите внимание, что мы окрашиваем эти новые точки в зависимости от цвета вершины треугольника, которую мы выбрали.

Пока что ничего удивительного не произошло, но посмотрите, что получится, когда мы повторим эти шаги много раз:

Этот процесс называется Игры хаоса. В начале может быть несколько случайных точек, но если вы будете повторяете одни и те же шаги много раз, распределение точек начинает выглядеть точно так же, как треугольник Серпинского!

Есть много других версий подобных построений - например, мы могли бы начать с квадрата или пятиугольника, мы могли бы добавить дополнительные правила, такие как невозможность выбрать одну и ту же вершину два раза подряд, или мы могли бы ставить следующую точку не на 12 отрезка. В некоторых из этих случаев мы просто получим случайное распределение точек, но в других случаях мы получим еще больше фракталов:

Triangle
Square
Pentagon

У вас получилось построить или на основе Золотого сечения?

Клеточный автомат

Клеточный автомат - это сетка, состоящая из множества отдельных ячеек. Каждая ячейка может находиться в разных «состояниях» (например, быть окрашена в разные цвета), и состояние одной клеточки зависит от состояния окружающих ячеек.

В нашем примере каждая ячейка может быть либо черной, либо белой. Мы начинаем с верхней строки, которая содержит только одну черную ячейку. В каждой следующей строке цвет ячейки определяется тремя клеточками, расположенными над ней. Включите любые правила окрашивания из восьми возможных вариантов ниже, чтобы заполнить все поле. Сможете ли вы найти набор правил, который создаст узор, похожий на треугольник Серпинского?

Существует два варианта окрашивания нижней ячейки для каждого из восьми правил, что означает, что в общей сложности существует 28= возможных правил. Некоторые из них, например как , выглядят как треугольник Серпинского. Другие, такие как , выглядят совершенно хаотично. Это правило было обнаружено Стивеном Вольфрамом в 1983 году, и его могут даже использовать для генерации случайных чисел!

Клеточные автоматы показывают, как очень сложные фигуры (такие, как фракталы) могут быть созданы по очень простым правилам. Многие процессы в природе также следуют простым правилам, но создают невероятно сложные системы.

В некоторых случаях это может привести к появлению узоров, которые выглядят так же, как клеточные автоматы, например, цвета на оболочке этой улитки.

Conus textile, ядовитая морская улитка

Тетраэдр Серпинского

Существует много вариантов треугольника Серпинского и других фракталов со схожими свойствами и процессами создания. Некоторые выглядят двумерными, как ковер Серпинского, который вы видели выше. Другие выглядят трехмерными, как эти примеры:

Тетраэдр Серпинского

Пирамида Серпинского

Archie