Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Евклидова геометрияАксиомы Евклида

Время чтения: ~25 min

Прежде чем приступить к доказательствам, нам нужна общая терминология, которая облегчит разговор о геометрических объектах. Это не особенно интересно, но вы уже должны знать большинство из них:

Точка - это определенное место в пространстве. Точки описывают позицию, но сами по себе не имеют размера или формы. Они обозначены заглавными буквами.

В Матигоне большие закрашенные точки обозначают интерактивные точки, которые вы можете перемещать, а маленькие незакрашенные обозначают фиксированные точки, которые вы не можете перемещать.

Прямая - это бесконечное множество точек, которые простираться бесконечно в обоих направлениях. Прямые, как и точки, не имеют размера - у них нет ширины.

Прямые обозначаются строчными буквами, такими как a или b. Мы также можем ссылаться на них, используя две точки, лежащие на прямой, например PQ или QP , Порядок точек не имеет значения.

Отрезок является частью линии, заключенный между двумя точками. Мы можем обозначать их как прямые, но без стрелок над буквами: AB или BA. Порядок букв снова не имеет значения.

Луч это среднее между прямой и отрезоком: он продолжается до бесконечности только с одной стороны. Вы можете представлять его как солнечный луч: он начинается в точке (солнце), а затем продолжает идти бесконечно.

В обозначении лучей стрелка показывает направление, в котором луч простирается до бесконечности, например AB. На этот раз порядок точек имеет значение.

Окружность - это набор точек, которые располагаются на одинаковом расстоянии от точки в центре. Это расстояние называется радиусом.

Конгруэнтность

Две фигуры слева выглядят похоже. Они имеют одинаковый размер и форму, и мы могли бы повернуть и сдвинуть одну из них так, чтобы они точно совпали один с другим. В геометрии мы говорим, что эти две фигуры конгруэнтны.

Символом конгруэнтности является , поэтому мы бы сказали, что AB.

Вот несколько разных геометрических объектов - соедините все пары конгруэнтных фигур. Помните, что конгруэнтными могут быть более двух фигур, а некоторые формы могут не иметь пары:

Два отрезка конгруэнтны, если они . Два угла конгруэнтны, если они (в градусах).

Обратите внимание, что «конгруэнтный» не означает «равный». Например, конгруэнтные прямые и углы не обязательно должны указывать в одном направлении. Тем не менее, конгруэнция обладает многими одинаковыми свойствами с равенством:

  • Конгруэнция симметрична: если XY, то YX.
  • Конгруэнтность рефлексивна: любая форма конгруэнтна сама себе. Например, AA.
  • Конгруэнция является переходной: если XY и YZ, то также XZ.

Параллельность и перпендикулярность

Две прямые, которые никогда не пересекаются, называются параллельными. Они указывают в одном направлении, и расстояние между ними в любой точке всегда .

Хорошим примером параллельных линий в реальной жизни являются железнодорожные пути. Еще учтите, что параллельными могут быть и три и более прямых!

На диаграммах мы обозначаем параллельные линии, ставя между ними две вертикальные черты. В этом примере abc и de. Символ просто означает, что прямая «параллельна» другой прямой.

Противоположностью параллельным прямым являются две прямые, которые пересекаются под углом 90° (под прямым углом). Эти линии называются перпендикулярными.

В этом примере мы бы написали a b. Символ означает, что прямые «перпендикулярны».

Аксиомы Евклида

Греческие математики поняли, что для написания доказательств нужна какая-то отправная точка: простые интуитивные утверждения, с которыми согласны все , Они называются аксиомами (или постулатами).

Ключевая задача математики - объединять различные аксиомы, чтобы доказывать более сложные утверждения, используя правила логики.

Греческий математик Евклид Александрийский, которого часто называют отцом геометрии, опубликовал пять аксиом геометрии:

Евклид Александрийский

Первая аксиома
Вы можете соединить любые две точки, только одним отрезком.

Вторая аксиома
Вы можете продлить любой отрезок до
бесконечной прямой.

Третья аксиома
Имея произвольную точку P и расстояние r, вы можете нарисовать окружность с центром P и радиусом r.

Четвертая аксиома
Любые два прямых угла равны между собой.

Пятая аксиома
Имея прямую L и точку P не принадлежащую L, можно построить ровно одну прямую, проходящую через P и параллельную прямой L.

Каждая из этих аксиом выглядит довольно очевидной, но вместе они составляют основу геометрии и могут использоваться для доказательства почти всего остального. Согласно Исааку Ньютону, «красота геометрии состоит в том, что из столь немногих принципов вы можете достичь столь многого».

Евклид опубликовал пять аксиом в книге «Начала». Это первый пример в истории систематического подхода к математике, который использовался в качестве учебника по математике на протяжении тысячелетий.

Одним из людей, изучавших работу Евклида, был американский президент Томас Джефферсон. При написании Декларации независимости в 1776 году он хотел придерживаться аналогичного подхода. Он начинает с формулировки нескольких простых «аксиом», а затем «доказывает» более сложные результаты:

“We hold these truths to be self-evident: that all men are created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, that among these are Life, Liberty and the pursuit of Happiness.”

We, therefore … declare, that these United Colonies are, and of right ought to be, free and independent states.”

Это всего лишь один пример, когда идеи Евклида в математике повлияли на совершенно разные области жизни.

Archie