Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Евклидова геометрияПостроение с линейкой и циркулем

Время чтения: ~20 min

Возможно, вы заметили, что пять аксиом Евклида не содержат ничего касающегося измерения расстояний или углов. Хотя тогда это была ключевая задача геометрии, например, для расчета площадей и объемов.

Тем не менее, во времена Фалеса или Евклида не было универсальной системы единиц, как мы имеем сегодня. Расстояния часто измерялись с использованием частей тела, например, ширины пальцев или длины рук. Они не очень точны и различаются для разных людей.

Для измерения больших расстояний архитекторы или геодезисты использовали веревки с узлами: длинные веревки, которые содержали много узлов на равных расстояниях. Но они также были не совсем точными, и на разных веревках узлы могли располагаться на разных расстояниях.

Греческие математики не хотели иметь дело с этими неточностями. Их гораздо больше интересовали основные законы геометрии, чем их практическое применение.

Вот почему они придумали гораздо более идеализированную версию нашей вселенной: в которой точки не могут иметь размер, а линии не могут иметь ширину. Конечно, нарисовать их на бумаге. Точки всегда будут занимать некоторое пространство, а линии всегда будут иметь некоторую толщину. Вот почему наши рисунки всегда просто «приблизительные».

Аксиомы Евклида задают нам основы геометрии и основные фигуры. Получается, что нам нужно иметь два очень простых инструмента, чтобы строить их на бумаге:

Прямая планка похожая на линейку, но без разметки. Вы можете использовать ее для соединения двух точек (как в Аксиоме 1) или для удлинения отрезка (как в Аксиоме 2).

Циркуль позволяет нарисовать круг заданного радиуса с центром в заданной точке (как в Аксиоме 3).

Аксиомы 4 и 5 посвящены сравнению свойств фигур, а не построению чего-либо. Поэтому здесь нам не пригодятся специальные инструменты.

Вы можете себе представить, что греческие математики думали о геометрии на пляже и рисовали различные формы на песке: используя длинные доски в виде прямой планки и нить в качестве циркуля.

Несмотря на то, что эти инструменты выглядят очень примитивно, вы можете нарисовать множество фигур с их помощью. Это даже стало игрой-головоломкой для математиков: пытаться найти способы «построить» различные геометрические фигуры, используя только линейку и циркуль.

Греческий математик Архимед изучал геометрию, в тот момент, когда он был убит римскими захватчиками. Его последние слова были «не тронь моих чертежей».

Нарисуйте равносторонний треугольник, используя только линейку и циркуль. Для начала постройте отрезок в любом месте в окне слева. Выберите инструмент "отрезок" , нажмите на любое место на поле и удерживая мышку проведите во вторую точку, которая станет концом отрезка. Этот отрезок будет одной из сторон треугольника.

Затем нарисуйте две окружности, центры которых лежат на концах отрезка, а радиус равен самому отрезку. Выберите инструмент окружность и просто проведите мышкой из центра окружности до точки, лежащей на окружности.

У нас уже есть две вершины треугольника, а третья - это пересечение двух окружностей. Снова используйте инструмент «Линия», чтобы нарисовать две недостающие стороны и завершить треугольник.

Теперь эти две стороны и эти две стороны являются наших двух окружностей, поэтому они должны иметь одинаковую длину. Другими словами, все три стороны треугольника являются конгруэнтными - и поэтому мы действительно получили равносторонний треугольник.

Серединные перпендикуляры

СКОРО - Построение срединных перпендикуляров

Биссектриса

СКОРО - Построение биссектирсы

Невозможные конструкции

В следующей главе мы увидим, что существует очень много фигур, которые можно построить только с помощью двух инструментов. Тем не менее, существуют и ограничения: некоторые конструкции просто невозможно построить, используя только линейку и циркуль.

Согласно легенде, город Делос в Древней Греции когда-то столкнулся с ужасной чумой. Оракул в Дельфах сказал им, что это наказание богов, и чума исчезнет, если они построят новый алтарь для своего храма, объем которого будет ровно вдвое больше объема существующего алтаря.

Реконструкция храма в Дельфи

Обратите внимание, что удвоение объема - это не то же самое, что удвоение ребра куба. Фактически, если объем увеличивается в 2 раза, то ребро куба будет увеличиваться в 23 раза.

Это все еще звучит довольно просто, но увеличить объем куба в два раза в евклидовой геометрии, используя только линейку и циркуль, невозможно! Для граждан Делоса это, к сожалению, означало, что вся надежда была потеряна. Есть два других построения, которые совершенно невозможны. Математики посвятили много времени поискам решения, но это было безуспешно:

Деление угла на три равные части
Мы уже знаем, как делить углы. Однако невозможно аналогичным образом разделить угол на три равные части.

Удвоение куба
Невозможно построить ребро куба, объем которого ровно в два раза больше первоначального.

Преобразование круга в квадрат
Невозможно построить квадрат, который имеет точно такую же площадь, как и заданный круг.

Обратите внимание, что все эти проблемы могут быть легко решены с помощью алгебры или с помощью линеек с отметками и транспортиров. Но они невозможны, если вам разрешено использовать только прямую планку (линейку без отметок) и циркуль.

Archie