Круги и ПиГрадусы и радианы

До сих пор в геометрии мы всегда измеряли углы в градусах . Полный оборот на °, половина оборота °, а четверть круга составляет ° и так далее.

Число 360 очень удобно, потому что оно делится на множество других чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 и так далее. Это означает, что многие части одного оборота также являются целыми числами. Но вы когда-нибудь задумывались, откуда берется число 360? Продолжить

Астрономы заметили, что созвездия, видимые в определенное время ночью, чуть-чуть смещались изо дня в день - до тех пор, пока примерно через 360 дней они не возвращались назад к своей исходной точке. И это могло стать причиной того, что круг разделили на 360 градусов.

Конечно, на самом деле в одном году 365 дней (ну, точнее, 365.242199), но вавилонские математики работали с простыми солнечными часами, и это приближение было вполне адекватным.

Это также хорошо работало с их существующей системой 60-тиричной системой счисления (так как 6×60=360 ). Эта система является причиной того, что у нас по-прежнему есть 60 секунд в минуте и 60 минут в часе - даже если большинство других единиц измеряется по 10-тиричной системе (например, 10 лет за десятилетие или 100 лет за столетие).

Радиан

Вместо того, чтобы делить круг на некоторое количество сегментов (например, 360 градусов), математики часто предпочитают измерять углы, используя единичную окружность (окружность с радиусом 1).

Каждый угол в градусах имеет эквивалентный размер в радианах. Преобразование одного в другое очень простое, оно похоже на конвертацию между другими единицами измерения, например, метрами и километрами или градусами Цельсия и Фаренгейта:

360° = 2_π радиан_

Вы можете записать значение в радианах либо как обыкновенную дробь с π , либо как десятичную дробь. Можете ли вы заполнить эту таблицу эквивалентных угловых размеров в градусах и радианах?

Пройденное расстояние

Вы можете думать о радианах как о «пройденном расстоянии» по окружности единичного круга. Это особенно полезно при работе с объектами, которые движутся по круговой траектории.

Видите, что в этом примере радианы являются гораздо более удобной единицей измерения, чем градусы? Как только мы узнаем скорость вращения, нам просто нужно умножить на радиус, чтобы получить фактическую скорость.

Вот еще один пример: у вашей машины есть колеса с радиусом 0,25  м. Если вы едете со скоростью 20 м / с, колеса вашего автомобиля вращаются со скоростью 200.25=8020×0.25=50.2550=0.0125 радианы в секунду (или 802π=13 оборотов в секунду).

Тригонометрия

Для большинства простых геометрических задач градусы и радианы полностью взаимозаменяемы - вы можете выбрать, что из них вам нравится больше, или вам может подсказать вопрос, в каких единицах дать ответ. Однако, как только вы изучите более сложную тригонометрию или исчисление , вы увидите, что радианы намного удобнее, чем градусы.

Использование радианов имеет одно особенно интересное преимущество при использовании функции синуса. Если θ очень маленький угол (менее 20° или 0,3 рад), то sinθ≈θ , Например,

sin ( ${x} ) ≈${sin(x)} ...

Это называется приближением малых углов , и оно может значительно упростить некоторые уравнения, содержащие тригонометрические функции. Вы узнаете намного больше об этом в будущем.