Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Круги и ПиГрадусы и радианы

Время чтения: ~25 min

До сих пор в геометрии мы всегда измеряли углы в градусах . Полный оборот на °, половина оборота °, а четверть круга составляет ° и так далее.

Число 360 очень удобно, потому что оно делится на множество других чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 и так далее. Это означает, что многие части одного оборота также являются целыми числами. Но вы когда-нибудь задумывались, откуда берется число 360?

Так получилось, что 360 градусов - это одно из древнейших понятий в математике, которым мы до сих пор пользуемся. Оно было разработано в древнем Вавилоне более 5000 лет назад!

В то время одним из наиболее важных применений математики была астрономия. Солнце определяет четыре сезона, о которых важно знать фермерам для выращивания урожая. Точно так же луна определяет приливы, что было важно для рыболовов. Люди также изучали звезды, чтобы предсказывать будущее или общаться с богами.

Вавилонская табличка для расчета 2

Астрономы заметили, что созвездия, видимые в определенное время ночью, чуть-чуть смещались изо дня в день - до тех пор, пока примерно через 360 дней они не возвращались назад к своей исходной точке. И это могло стать причиной того, что круг разделили на 360 градусов.

Midnight on day ${day}

Конечно, на самом деле в одном году 365 дней (ну, точнее, 365.242199), но вавилонские математики работали с простыми солнечными часами, и это приближение было вполне адекватным.

Это также хорошо работало с их существующей системой 60-тиричной системой счисления (так как 6×60=360 ). Эта система является причиной того, что у нас по-прежнему есть 60 секунд в минуте и 60 минут в часе - даже если большинство других единиц измеряется по 10-тиричной системе (например, 10 лет за десятилетие или 100 лет за столетие).

Для многих из нас измерение углов в градусах довольно привычно: видео на 360°, скейтбордисты могут сделать поворот на 540°, а кто-то может изменить свое решение на 180°.

Но с математической точки зрения выбор 360 совершенно произвольный. Если бы мы жили на Марсе, у круга могло бы быть 670°, а в году на Юпитере вообще 10 475 дней.

540 McFlip, поворот на 540°

Радиан

Вместо того, чтобы делить круг на некоторое количество сегментов (например, 360 градусов), математики часто предпочитают измерять углы, используя единичную окружность (окружность с радиусом 1).

имеет длину ,

, соответствует расстояние ,

Для , расстояние по окружности ,

И так далее: этот способ измерения углов называется радианами .

Каждый угол в градусах имеет эквивалентный размер в радианах. Преобразование одного в другое очень простое, оно похоже на конвертацию между другими единицами измерения, например, метрами и километрами или градусами Цельсия и Фаренгейта:

360° = 2_π_ радиан


= радиан


1 радиан = °

Вы можете записать значение в радианах либо как обыкновенную дробь с π , либо как десятичную дробь. Можете ли вы заполнить эту таблицу эквивалентных угловых размеров в градусах и радианах?

градусы060180
радианы0232π

Пройденное расстояние

Вы можете думать о радианах как о «пройденном расстоянии» по окружности единичного круга. Это особенно полезно при работе с объектами, которые движутся по круговой траектории.

Например, Международная космическая станция делает один оборот вокруг Земли каждые 1,5 часа. Это означает, что его скорость вращения радианы в час.

При движении по единичной окружности скорость вращения равна фактической скорости, потому что длина окружности такая же, как один полный оборот в радианах (оба 2π).

Радиус орбиты МКС составляет 6800  км, что означает, что фактическая скорость МКС должна быть = 28483 км в час.

${round(p*1.5,1)}h

Видите, что в этом примере радианы являются гораздо более удобной единицей измерения, чем градусы? Как только мы узнаем скорость вращения, нам просто нужно умножить на радиус, чтобы получить фактическую скорость.

Вот еще один пример: у вашей машины есть колеса с радиусом 0,25  м. Если вы едете со скоростью 20 м / с, колеса вашего автомобиля вращаются со скоростью радианы в секунду (или 802π=13 оборотов в секунду).

Тригонометрия

Для большинства простых геометрических задач градусы и радианы полностью взаимозаменяемы - вы можете выбрать, что из них вам нравится больше, или вам может подсказать вопрос, в каких единицах дать ответ. Однако, как только вы изучите более сложную тригонометрию или исчисление , вы увидите, что радианы намного удобнее, чем градусы.

Большинство калькуляторов имеют специальную кнопку для переключения между градусами и радианами. Тригонометрические функции, такие как sin , cos и tg, берутся от заданных углов, а их обратные функции arcsin , arccos и arctg берутся от чисел и дают угол в результате. Текущая настройка калькулятора определяет, какие единицы измерения используются для этих углов.

Попробуйте использовать этот калькулятор, чтобы рассчитать

sin (30°) = cos (1°) =
Sin (30 рад) = cos (1 рад) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

Использование радианов имеет одно особенно интересное преимущество при использовании функции синуса. Если θ очень маленький угол (менее 20° или 0,3 рад), то sinθθ , Например,

sin ( ${x} ) ${sin(x)} ...

Это называется приближением малых углов , и оно может значительно упростить некоторые уравнения, содержащие тригонометрические функции. Вы узнаете намного больше об этом в будущем.

Archie