Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Круги и ПиВведение

Время чтения: ~35 min

Пока люди существуют, мы смотрели на небо и пытались объяснить жизнь на Земле, используя движение звезд, планет и луны.

Древнегреческие астрономы первыми обнаружили, что все небесные объекты движутся по регулярным путям, называемым орбитами . Они считали, что эти орбиты всегда круговые. В конце концов, круги являются «наиболее совершенными» из всех форм: симметричными во всех направлениях и, следовательно, подходящим выбором для основного порядка нашей вселенной.

Земля находится в центре вселенной Птолемеев .

Каждая точка на круге имеет одинаковое расстояние от его центра. Это означает, что их можно нарисовать с помощью компаса :

Есть три важных измерения, связанных с кругами, которые вам нужно знать:

  • радиус - это расстояние от центра круга до его внешнего обода. * {.reveal(data-when="compass" data-delay="4000")} диаметр - это расстояние между двумя противоположными точками на окружности. Он проходит через свой центр, и его длина в радиус. * {.reveal(data-when="blank-0")} окружность (или периметр) - это расстояние вокруг круга.

Одним из важных свойств кругов является то, что все круги похожи . Вы можете доказать это, показав, как можно сопоставить все круги, используя простые переводы и расширения :

Возможно, вы помните, что для аналогичных полигонов соотношение между соответствующими сторонами всегда постоянное. Нечто подобное работает для кругов: соотношение между окружностью и диаметром одинаково для всех кругов . Это всегда 3.14159… - загадочное число, называемое Pi , которое часто пишется как греческая буква π для «p». У Пи бесконечно много десятичных цифр, которые продолжаются вечно без какого-либо определенного шаблона:

Вот колесо диаметром 1. Когда вы «раскатываете» окружность, вы можете видеть, что ее длина точно :

01234π

Для круга диаметром d длина окружности равна C=π×d , Аналогично, для круга с радиусом r длина окружности равна

C= ,

Круги абсолютно симметричны, и у них нет «слабых мест», таких как углы многоугольника. Это одна из причин, почему их можно найти повсюду в природе:

Цветы

планеты

деревья

Фрукты

Мыльные пузыри

И есть много других примеров: от радуги до водной ряби. Вы можете думать о чем-нибудь еще?

Также оказывается, что круг - это форма с наибольшей площадью для данной окружности. Например, если у вас есть веревка длиной 100  m, вы можете использовать ее, чтобы заключить самое большое пространство, если вы формируете круг (а не другие формы, такие как прямоугольник или треугольник).

В природе такие объекты, как капли воды или пузырьки воздуха, могут экономить энергию , становясь круглыми или сферическими и уменьшая площадь их поверхности.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Окружность = 100 , Площадь = ${area}

Площадь круга

Но как нам на самом деле рассчитать площадь круга? Давайте попробуем ту же технику, которую мы использовали для нахождения площади четырехугольников : мы разрезаем форму на несколько разных частей, а затем перегруппируем их в другую форму, площадь которой мы уже знаем (например, прямоугольник или треугольник).

Единственное отличие состоит в том, что, поскольку круги изогнуты, мы должны использовать некоторые приближения:

rπr

Здесь вы можете увидеть круг, разделенный на ${toWord(n1)} клинья. Переместите ползунок, чтобы выстроить клинья в один ряд.

Если мы увеличим количество клиньев до ${n1} эта форма начинает все больше и больше походить на

Высота прямоугольника равна круга. Ширина прямоугольника равна круга. (Обратите внимание, как половина клиньев обращена вниз, а половина - вверх.)

Поэтому общая площадь прямоугольника составляет примерно A=πr2 ,

r2πr

Здесь вы можете увидеть круг, разделенный на ${toWord(n)} кольца. Как и раньше, вы можете перемещать ползунок, чтобы «раскрутить» кольца.

Если мы увеличим количество колец до ${n2} эта форма начинает все больше и больше походить на .

Высота треугольника равна круга. Основание треугольника равно круга. Поэтому общая площадь треугольника составляет примерно

A=12base×height=πr2 ,

Если бы мы могли использовать бесконечное количество колец или клиньев, приведенные выше приближения были бы идеальными - и они оба дают нам одинаковую формулу для площади круга:

A=πr2 ,

Расчет Пи

Как вы видели выше, π=3.1415926 не является простым целым числом, и его десятичные цифры продолжаются вечно, без повторяющегося шаблона. Числа с этим свойством называются иррациональными числами , и это означает, что π не может быть выражена как простая дробь ab ,

Это также означает, что мы никогда не сможем записать все цифры числа Пи - ведь их бесконечно много. Древнегреческие и китайские математики вычислили первые четыре десятичных знака числа Пи путем аппроксимации кругов с помощью правильных многоугольников. Обратите внимание, что по мере добавления новых сторон многоугольник начинает выглядеть как круг:

В 1665 году Исааку Ньютону удалось вычислить 15 цифр. Сегодня мы можем использовать мощные компьютеры для вычисления значения Pi с гораздо большей точностью.

Текущая запись составляет 31,4 триллиона цифр. Печатная книга, содержащая все эти цифры, будет иметь толщину около 400 км - это высота, на которой Международная космическая станция вращается вокруг Земли!

Конечно, вам не нужно запоминать столько цифр числа Пи. На самом деле, фракция 227=3.142 это отличное приближение.

Один из подходов к вычислению числа Pi состоит в использовании бесконечных последовательностей чисел. Вот один пример, который был обнаружен Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1676 году:

π=4143+4547+494+

По мере того, как мы вычисляем все больше и больше членов этой серии, всегда следуя одной и той же схеме, результат будет становиться все ближе и ближе к Пи.

Многие математики считают, что у Пи есть еще более любопытное свойство: это нормальное число . Это означает, что цифры от 0 до 9 появляются совершенно случайно, как если бы природа бросала 10-гранный кубик бесконечно много раз, чтобы определить значение Pi.

Здесь вы можете увидеть первые 100 цифр числа Пи. Переместите некоторые ячейки, чтобы увидеть, как распределяются цифры.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Если Pi нормальный, это означает, что вы можете думать о любой строке цифр, и она появится где-то в ее цифрах. Здесь вы можете найти первые миллион цифр числа Пи - они содержат ваш день рождения?

Один миллион цифр Пи

Search for a string of digits:
3.

Мы могли бы даже конвертировать целую книгу, как Гарри Поттер, в очень длинную цепочку цифр (a = 01, b = 02 и т. Д.). Если число «Пи» нормальное, эта строка появится где-то в своих цифрах - но потребуются миллионы лет, чтобы вычислить достаточно цифр, чтобы найти ее.

Пи легко понять, но имеет фундаментальное значение в науке и математике. Это может быть причиной того, почему Пи стал необычайно популярным в нашей культуре (по крайней мере, по сравнению с другими темами математики):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Там даже есть день Пи каждый год, который либо приходится на 14 марта, потому что π3.14 или 22 июля, потому что π227 ,