Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Круги и ПиВведение

Время чтения: ~30 min

Все время существования человечества мы смотрели на небо и пытались объяснить жизнь на Земле, наблюдая движение звезд, планет и луны.

Древнегреческие астрономы первыми обнаружили, что все небесные объекты движутся по регулярным траекториям, называемыми орбитами . Они считали, что эти орбиты всегда круговые. В конце концов, круги являются «наиболее совершенными» из всех форм: симметричными во всех направлениях и, следовательно, наиболее подходящим выбором для главного правила нашей вселенной.

Земля находится в центре по геоцентрической системе мира .

Каждая точка на окружности имеет одинаковое расстояние до его центра. Это означает, что их можно нарисовать с помощью циркуля :

Есть три важных понятия, связанных с окружностью, которые вам нужно знать:

  • Радиус - это расстояние от центра окружности до любой ее точки.
  • Диаметр - это расстояние между двумя противоположными точками на окружности. Он проходит через центр, и его длина радиуса.
  • Длина окружности - это длина прямой ограничивающей круг.

Одним из важных свойств окружностей является то, что все окружности подобны . Вы можете доказать это, показав, как можно сопоставить все круги, используя простые преобразования и гомотетию :

Возможно, вы помните, что для аналогичных многоугольников соотношение между соответствующими сторонами всегда постоянное. Нечто подобное работает для окружностей: соотношение между окружностью и диаметром одинаково для всех окружностей . Это всегда 3.14159… - загадочное число, называемое Pi , которое часто пишется как греческая буква π. У Пи бесконечно много цифр после запятой, которые продолжаются бесконечно без какого-либо определенного шаблона:

Вот колесо диаметром 1. Когда вы «раскатываете» окружность, вы можете видеть, что ее длина точно :

01234π

Для окружности диаметром d длина окружности равна C=π×d. Тогда для круга с радиусом r длина окружности равна

C=

Окружности абсолютно симметричны, и у них нет «слабых мест», таких как углы многоугольника. Это одна из причин, почему их можно найти повсюду в природе:

Цветы

Планеты

Деревья

Фрукты

Мыльные пузыри

И есть много других примеров: от радуги до водной ряби. Вы можете придумать что-нибудь еще?

Также оказывается, что круг - это фигура с наибольшей площадью для заданного периметра. Например, если у вас есть веревка длиной 100  m, вы можете заключить самое большое пространство внутри, если сформируете круг (а не другие фигуры, такие как прямоугольник или треугольник).

В природе такие объекты, как капли воды или пузырьки воздуха, могут экономить энергию , становясь круглыми или сферическими и уменьшая площадь их поверхности.

Треугольник
Квадрат
Пятиугольник
Круг

Периметр = 100 , Площадь = ${area}

Площадь круга

Но как нам рассчитать площадь круга? Давайте попробуем применить ту же технику, которую мы использовали для нахождения площади четырехугольников : мы разрезаем форму на несколько разных частей, а затем перегруппируем их в другую фигуру, площадь которой мы уже знаем (например, прямоугольник или треугольник).

Единственное отличие состоит в том, что, поскольку круги "изогнуты", мы должны использовать некоторые приближения:

rπr

Здесь вы можете увидеть круг, разделенный на ${toWord(n1)} сегментов. Переместите ползунок, чтобы выстроить сегменты в один ряд.

Если мы увеличим количество клиньев до ${n1} эта форма начинает все больше и больше походить на

Высота прямоугольника равна круга. Ширина прямоугольника равна круга. (Обратите внимание, как половина сегментов обращена вниз, а половина - вверх.)

Поэтому общая площадь прямоугольника равна S=πr2 .

r2πr

Здесь вы можете увидеть круг, разделенный на ${toWord(n)} кольца. Как и раньше, вы можете перемещать ползунок, чтобы «раскрутить» кольца.

Если мы увеличим количество колец до ${n2} эта фигура начинает все больше и больше походить на .

Высота треугольника равна круга. Основание треугольника равно круга. Поэтому общая площадь треугольника равна

S=12основание×высота=πr2 ,

Если бы мы могли использовать бесконечное количество колец или сегментов, приведенные выше приближения были бы идеальными - и они оба дают нам одинаковую формулу для площади круга:

S=πr2 ,

Расчет Пи

Как вы видели выше, π=3.1415926 не является простым целым числом, и его десятичные цифры продолжаются бесконечно, без повторяющегося шаблона. Числа с этим свойством называются иррациональными числами , и это означает, что π не может быть выражена как простая дробь ab ,

Это также означает, что мы никогда не сможем записать все цифры числа Пи - ведь их бесконечно много. Древнегреческие и китайские математики вычислили первые четыре десятичных знака числа Пи путем аппроксимации кругов с помощью правильных многоугольников. Обратите внимание, что по мере добавления новых сторон многоугольник начинает выглядеть на круг:

В 1665 году Исааку Ньютону удалось вычислить 15 цифр. Сегодня мы можем использовать мощные компьютеры для вычисления значения Pi с гораздо большей точностью.

Текущая запись включает 31,4 триллиона цифр. Печатная книга, содержащая все эти цифры, будет иметь толщину около 400 км - это высота, на которой Международная космическая станция вращается вокруг Земли!

Конечно, вам не нужно запоминать столько цифр числа Пи. На самом деле, дробь 227=3.142 это отличное приближение.

Один из подходов к вычислению числа Pi состоит в использовании бесконечных последовательностей чисел. Вот один пример, который был обнаружен Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1676 году:

π=4143+4547+494+

По мере того, как мы вычисляем все больше и больше членов этой последовательности, всегда следуя одной и той же схеме, результат будет становиться все ближе и ближе к Пи.

Многие математики считают, что у Пи есть еще более любопытное свойство: это нормальное число . Это означает, что цифры от 0 до 9 появляются совершенно случайно, как если бы природа бросала 10-гранный кубик бесконечно много раз, чтобы определить значение Pi.

Здесь вы можете увидеть первые 100 цифр числа Пи. Наведите мышку на некоторые ячейки, чтобы увидеть, как распределяются цифры.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Если Pi нормальное, это означает, что вы можете придумать любую последовательность цифр, и она появится где-то в ее цифрах. Здесь вы можете найти первые миллион цифр числа Пи - они содержат ваш день рождения?

Один миллион цифр Пи

Найти последовательность цифр:
3.

Мы могли бы даже конвертировать целую книгу, как Гарри Поттер, в очень длинную цепочку цифр, заменив буквы на числа (a = 01, b = 02 и т.д.). Если число «Пи» нормальное, то эта последовательность должна появится где-то в числе пи - но потребуются миллионы лет, чтобы вычислить достаточно цифр, чтобы найти ее.

Пи легко понять, и при этом оно имеет фундаментальное значение в науке и математике. Это может быть причиной того, почему Пи стал необычайно популярным в нашей культуре (по крайней мере, по сравнению с другими темами математики):

Пи это секретная комбинация для таблички в "Ночь в музее 2".

Профессор Фринк (“Симпсоны”) добивается тишины сказав, что пи равно 3.

Спок (“Стар Трек”) ломает злой компьютер попросив вычислить последнюю цифру числа пи.

Так даже есть день Пи, который каждый год приходится на 14 марта, потому что π3.14 или на 22 июля, потому что π227 ,