English
عربى
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtКруги и ПиКасательные, хорды и дуги
В предыдущих разделах вы узнали названия, данные различным частям круга - например, центр, радиус, диаметр и длина окружности. Однако есть много других геометрических элементов, связанных с окружностью, которые нам понадобятся для решения более сложных задач:
- Секущая - это линия, которая пересекает круг в двух точках.
- Хорда - это отрезок, конечные точки которого соединяют две точки окружности.
- Касательная - это линия, которая касается окружности ровно в одной точке. Она называется точкой касания .
- Дуга - это часть окружности, заключенная между двумя точками.
- Сектор является частью круга, ограниченной дугой и двумя радиусами .
- Наконец, сегмент - это часть круга, ограниченная дугой и хордой .
В этом разделе мы рассмотрим взаимосвязь между всеми этими элементами и докажем теоремы об их свойствах. Пока не беспокойтесь о запоминании всех определений - вы всегда можете использовать
Касательные
СКОРО БУДЕТ!
Хорды
СКОРО БУДЕТ!
Дуги и секторы
Большинство ученых древней Греции соглашались с тем, что Земля - это сфера. Было много доказательств: от кораблей, скрывающихся за горизонтом в море, до кругового движения звезд ночью.
К сожалению, никто точно не знал, насколько велика Земля - примерно до 200 г. до н.э., когда математик
Как вы можете видеть на диаграмме, дуга является частью
Дуга между двумя точками A и B часто записывается как
Меньшая из двух дуг называется малой дугой , а вторая - большой дугой . Если точки A и B точно противоположны друг другу, обе дуги имеют одинаковую длину и равняются
Чтобы найти длину дуги или площадь сектора, нам нужно знать величину соответствующего угла с вершиной в центре круга: этот угол называется центральный угол .
Обратите внимание, что дуга, сектор и угол занимают одинаковую часть полного круга. Например, если центральный угол равен , то дуга и сектор занимает
Это означает, что длина дуги также равна
Мы можем выразить это отношение в уравнении:
Теперь мы можем переставить эти уравнения, чтобы найти любую интересующую нас переменную. Например,
| Длина дуги | = | |
| = |
| Площадь сектора | = | |
| = |
где r - радиус, а c - величина центрального угла.
Если центральный угол измеряется в
| Длина дуги | = | |
| = |
| Площадь сектора | = | |
| = |
Обратите внимание на то, как уравнения становятся намного проще, потому что исчезает π. Это потому, что, как вы помните, радианы - это то, в чем измеряются длины дуг в окружности с радиусом 1.
Теперь давайте посмотрим, как мы можем использовать дуги и сектора для расчета радиуса Земли.
В древнем Египте город Свенет располагался вдоль реки Нил. Свенет был знаменит колодцем с любопытным свойством: каждый год был один момент, когда солнечный свет достигал самого дна колодца - в полдень 21 июня, в день летнего солнцестояния. В это время дно было освещено, а стенки оставались в тени, что означало, что Солнце стояло прямо над колодцем.
Древние египтяне измеряли большие расстояния, подсчитывая количество шагов, которые нужно было пройти из одной точки в другую.
Некоторые источники сообщают, что «Колодец Эратосфена» находился на острове Элефантин на реке Нил.
Математик
Эратосфен заметил, что в полдень в день летнего солнцестояния обелиск отбросывает тень - это означает, что солнце не находится прямо над ним. Он сделал вывод, что это из-за искривления Земли, и понял, что его можно использовать для расчета радиуса нашей планеты.
Здесь вы можете увидеть колодец в Свене, а также обелиск в Александрии. Солнечные лучи падают прямо в колодец, а на обелиск попадают под углом и отбрасывают тень.
Эратосфен измерил, что угол тени составлял 7,2°. Такую же величину имеет центральный угол , который опирается на дугу соединяющую Александрию в Свенет, потому что они
Теперь мы можем использовать уравнение для длины дуги, которое мы вывели выше:
Если мы посчитаем, то обнаружим, что длина окружности у Земли
Наконец, мы знаем, что длина окружности считается по формуле
Измерение Эратосфена было одним из самых важных экспериментов в древности. Его оценка радиуса Земли была на удивление точной, особенно если учесть, что он имел доступ только к самым базовым измерительным инструментам.
Конечно, может быть трудно перевести его первоначальные результаты в современные единицы, например, в километры. В древней Греции расстояние измерялось в стадиях (примерно 160 м), но универсального стандарта не было. У каждой области была своя, немного другая система с единицами измерения, и мы не знаем, какой из них пользовался Эратосфен.
В последующие века ученые пытались использовать другие методы для расчета радиуса Земли - иногда с совершенно разными и неверными результатами.
Одно из этих неверных измерений побудило Христофора Колумба плыть на запад из Португалии. Он предположил, что Земля намного меньше, чем есть на самом деле, и надеялся достичь Индии. Фактически, он прибыл на другой континент.
Сегменты
СКОРО БУДЕТ!