Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Круги и ПиКасательные, хорды и дуги

Время чтения: ~25 min

В предыдущих разделах вы узнали названия, данные различным частям круга - например, центр, радиус, диаметр и длина окружности. Однако есть много других геометрических элементов, связанных с окружностью, которые нам понадобятся для решения более сложных задач:

  • Секущая - это линия, которая пересекает круг в двух точках.
  • Хорда - это отрезок, конечные точки которого соединяют две точки окружности.
  • Касательная - это линия, которая касается окружности ровно в одной точке. Она называется точкой касания .
  • Дуга - это часть окружности, заключенная между двумя точками.
  • Сектор является частью круга, ограниченной дугой и двумя радиусами .
  • Наконец, сегмент - это часть круга, ограниченная дугой и хордой .

В этом разделе мы рассмотрим взаимосвязь между всеми этими элементами и докажем теоремы об их свойствах. Пока не беспокойтесь о запоминании всех определений - вы всегда можете использовать глоссарий .

Касательные

СКОРО БУДЕТ!

Хорды

СКОРО БУДЕТ!

Дуги и секторы

Большинство ученых древней Греции соглашались с тем, что Земля - это сфера. Было много доказательств: от кораблей, скрывающихся за горизонтом в море, до кругового движения звезд ночью.

К сожалению, никто точно не знал, насколько велика Земля - примерно до 200 г. до н.э., когда математик Эратосфен нашел оригинальный способ измерения радиуса Земли, используя базовую геометрию. Все, что нам нужно, это немного больше знаний о дугах и секторах круга.

Как вы можете видеть на диаграмме, дуга является частью , а сектор является частью .

Дуга между двумя точками A и B часто записывается как AB , Это определение немного двусмысленно: есть вторая дуга, которая соединяет А и В, но идет не по самому короткому пути.

Меньшая из двух дуг называется малой дугой , а вторая - большой дугой . Если точки A и B точно противоположны друг другу, обе дуги имеют одинаковую длину и равняются .

Чтобы найти длину дуги или площадь сектора, нам нужно знать величину соответствующего угла с вершиной в центре круга: этот угол называется центральный угол .

Обратите внимание, что дуга, сектор и угол занимают одинаковую часть полного круга. Например, если центральный угол равен , то дуга и сектор занимает целого круга

Это означает, что длина дуги также равна 14 от длины всей окружности , а площадь сектора равна 14 от всей площади круга.

Мы можем выразить это отношение в уравнении:

длина дугидлина окружности=площадь круга=центральный угол

Теперь мы можем переставить эти уравнения, чтобы найти любую интересующую нас переменную. Например,

Длина дуги=длина окружности×c360
=2πr×c360
Площадь сектора=площадь круга×c360
=πr2×c360

где r - радиус, а c - величина центрального угла.

Если центральный угол измеряется в радианах , а не в градусах , мы можем использовать те же уравнения, заменив 360° на :

Длина дуги=2πr×c2π
=r×c
Площадь сектора=πr2×c2π
=12r2c

Обратите внимание на то, как уравнения становятся намного проще, потому что исчезает π. Это потому, что, как вы помните, радианы - это то, в чем измеряются длины дуг в окружности с радиусом 1.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем использовать дуги и сектора для расчета радиуса Земли.

В древнем Египте город Свенет располагался вдоль реки Нил. Свенет был знаменит колодцем с любопытным свойством: каждый год был один момент, когда солнечный свет достигал самого дна колодца - в полдень 21 июня, в день летнего солнцестояния. В это время дно было освещено, а стенки оставались в тени, что означало, что Солнце стояло прямо над колодцем.

Древние египтяне измеряли большие расстояния, подсчитывая количество шагов, которые нужно было пройти из одной точки в другую.

Некоторые источники сообщают, что «Колодец Эратосфена» находился на острове Элефантин на реке Нил.

Математик Эратосфен жил в Александрии, примерно в 800 км к северу от Свенета, где он управлял Большой библиотекой. В центре города Александрия стоял обелиск, высокий, узкий памятник с вершиной в форме пирамиды.

Эратосфен заметил, что в полдень в день летнего солнцестояния обелиск отбросывает тень - это означает, что солнце не находится прямо над ним. Он сделал вывод, что это из-за искривления Земли, и понял, что его можно использовать для расчета радиуса нашей планеты.

Здесь вы можете увидеть колодец в Свене, а также обелиск в Александрии. Солнечные лучи падают прямо в колодец, а на обелиск попадают под углом и отбрасывают тень.

Эратосфен измерил, что угол тени составлял 7,2°. Такую же величину имеет центральный угол , который опирается на дугу соединяющую Александрию в Свенет, потому что они .

Теперь мы можем использовать уравнение для длины дуги, которое мы вывели выше:

длина дугидлина окружности=°360°

Если мы посчитаем, то обнаружим, что длина окружности у Земли

длина окружности=360°7.2°×800 km=km

Наконец, мы знаем, что длина окружности считается по формуле C=2πr , поэтому радиус Земли

rЗемля=40000km2π6400km ,

Измерение Эратосфена было одним из самых важных экспериментов в древности. Его оценка радиуса Земли была на удивление точной, особенно если учесть, что он имел доступ только к самым базовым измерительным инструментам.

Конечно, может быть трудно перевести его первоначальные результаты в современные единицы, например, в километры. В древней Греции расстояние измерялось в стадиях (примерно 160 м), но универсального стандарта не было. У каждой области была своя, немного другая система с единицами измерения, и мы не знаем, какой из них пользовался Эратосфен.

В последующие века ученые пытались использовать другие методы для расчета радиуса Земли - иногда с совершенно разными и неверными результатами.

Одно из этих неверных измерений побудило Христофора Колумба плыть на запад из Португалии. Он предположил, что Земля намного меньше, чем есть на самом деле, и надеялся достичь Индии. Фактически, он прибыл на другой континент.

Сегменты

СКОРО БУДЕТ!