Круги и ПиСферы, конусы и цилиндры

В предыдущих разделах мы изучали свойства окружностей на плоской поверхности. Но наш мир на самом деле трехмерный, поэтому давайте взглянем на некоторые трехмерные тела, основанные на кругах:

Цилиндр состоит из двух параллельных окружностей, соединенных изогнутой поверхностью.

Конус имеет круглое основание, соединенное с одной точкой (вершиной).

Каждая точка на поверхности сферы имеет одинаковое расстояние до ее центра.

Обратите внимание, что определение сферы почти совпадает с определением - только теперь в трех измерениях!

Цилиндры

Здесь вы можете увидеть цилиндрический газгольдер в Оберхаузене, Германия. Он использовался для хранения природного газа, который использовался в качестве топлива на близлежащих заводах и электростанциях. Газометр имеет высоту 120 метров, а его основание и крыша представляют собой два больших круга радиусом 35 метров. Есть два важных вопроса, на которые мы можем ответить:

Сколько природного газа можно хранить в таком газгольдере? Это цилиндра.
Сколько стали нужно, чтобы построить газгольдер? Это (приблизительно) цилиндра.

Попробуем найти формулы для этих величин.

Газгольдер в Оберхаузене

Объем цилиндра

Верх и низ цилиндра представляют собой два конгруэнтных круга, называемых основаниями . Высота h цилиндра представляет собой перпендикуляр к этим двум основаниями, и радиус r цилиндра - это просто радиус оснований.

Мы можем начать с ${n} призмы . По мере увеличения количества сторон призма начинает все больше походить на цилиндр:

Хотя цилиндр технически не является призмой, он обладает многими ее свойствами. В обоих случаях мы можем найти объем, умножив площадь основания на высоту . Это означает, что цилиндр с радиусом г и высотой h имеет объем

Помните, что радиус и высота должны измеряться в одних и тех же единицах измерения. Например, если r и h измеряются в см, то объем будет измеряться в

В приведенных выше примерах два основания цилиндра находились непосредственно друг над другом : это называется прямой цилиндр . Если основания не находятся прямо друг над другом, мы получаем наклонный цилиндр . Основания все еще параллельны, но стороны как будто «наклоняются» под углом, не равным 90°.

Пизанская башня в Италии похожа на наклонный цилиндр.

Объем наклонного цилиндра, оказывается, равен объему прямого цилиндра с таким же радиусом и высотой. Это связано с принципом Кавальери , названным в честь итальянского математика Бонавентуры Кавальери : если два тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на каждой высоте, то они будут иметь одинаковый объем.

Представьте себе нарезку цилиндра на множество тонких дисков. Мы можем сдвинуть эти диски, чтобы получить наклонный цилиндр. Объем отдельных дисков не изменяется, поэтому общий объем также остается постоянным:

Площадь поверхности цилиндра

Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нам нужно «развернуть» его в плоскую развертку . Вы можете попробовать сделать это сами, например, сняв этикетку с банки с едой.

Есть два , один сверху и один снизу цилиндра. Боковая сторона на самом деле большой

Каждое из двух оснований имеют площадь
Высота прямоугольника равна , а ширина прямоугольника равна окружности основания:

Это означает, что общая площадь поверхности цилиндра с радиусом r и высотой h определяется как

Цилиндры можно найти повсюду в нашем мире - от банок содовой до туалетной бумаги или водопроводных труб. Можете ли вы вспомнить другие примеры?

Газгольдер выше имел радиус 35 метров и высоту 120 метров. Теперь мы можем рассчитать, что его объем составляет примерно m3 и его площадь поверхности составляет примерно m2 ,

Конусы

Конус - это трехмерное твердое тело с кругом в основании . Его боковая поверхность «сужается вверх», как показано на рисунке, и заканчивается в одной точке, называемой вершиной

Радиус конуса является радиусом основания, а высота конуса - это расстояние от основания до вершины (перпендикуляр).

Как и другие формы, мы можем встретить конусы в повседневной жизни: конусы мороженого, дорожные конусы, некоторые крыши и даже рождественские елки. Что еще можно придумать?

Объем Конуса

Ранее мы нашли объем цилиндра, аппроксимировав его с помощью призмы. Точно так же мы можем найти объем конуса, аппроксимируя его с помощью пирамиды .

Здесь вы можете увидеть ${n} угольную пирамиду. По мере увеличения числа сторон пирамида начинает все больше походить на конус. На самом деле, мы можем думать о конусе как о пирамиде с бесконечным числом сторон!

Это также означает, что мы также можем использовать уравнение для объема: V=13площадь основания×высота . Основание конуса представляет собой круг, поэтому объем конуса с радиусом r и высотой h равен

Обратите внимание на сходство с уравнением для объема цилиндра. Представьте себе, что вокруг конуса нарисован цилиндр с таким же основанием и высотой - это называется описанным цилиндром . Тогда конус займет ровно объема цилиндра:

Примечание: вы можете подумать, что приближения к конусу через призму с бесконечным количеством граней немного «неточно». Математики потратили много времени, пытаясь найти более простой способ расчета объема конуса. В 1900 году великий математик Дэвид Гильберт даже назвал это одной из 23 самых важных нерешенных проблем математики! Сегодня мы знаем, что более простого способа нет.

Точно так же, как цилиндр, конус может быть не только «прямым». Если вершина находится прямо над центром основания, у нас есть прямой конус . В противном случае мы называем фигуру косым конусом .

Еще раз, мы можем использовать принцип Кавальери, чтобы показать, что все наклонные конусы имеют одинаковый объем, если они имеют одинаковое основание и высоту.

Площадь поверхности конуса

Найти площадь поверхности конуса немного сложнее. Как и прежде, мы можем "раскрыть" конус в его развертку. Переместите ползунок, чтобы увидеть, что происходит: в этом случае мы получаем один круг и один .

Теперь нам нужно просто сложить площадь этих двух компонентов. Основание представляет собой круг с радиусом r , поэтому его площадь

Aоснования=

Радиус сектора равен расстоянию от края конуса до его вершины. Это называется образующая s конуса, которая не равна высоте h . Мы можем найти образующую, используя теорему Пифагора :

s2	=
s	=

Длина дуги у сектора равна основания : 2πr . Теперь мы можем найти площадь сектора, используя формулу , которую мы вывели в предыдущем разделе:

AСектор	=	AКруг×длина дугидлина окружности
	=

Наконец, мы просто должны сложить площадь основания и площадь сектора , чтобы получить общую площадь поверхности конуса:

Сферы

Сфера - это трехмерное тело, состоящее из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданного центра C. Это расстояние называется радиус r сферы.

Как и круг, сфера также имеет диаметр d , который в длиннее радиуса, а также хорды и секущие.

В предыдущем разделе вы узнали, как греческий математик Эратосфен вычислил радиус Земли, используя тень от обелиска. Радиус оказался равен 6 371 км. Теперь давайте попробуем найти общий объем Земли и площадь поверхности.

Объем шара

Чтобы найти объем шара, мы снова должны использовать принцип Кавальери. Начнем с полушария - шара, разрезанного пополам вдоль экватора. Нам также нужен цилиндр с таким же радиусом и высотой, как у полушария, но с вырезанным в центре перевернутым конусом.

Перемещая ползунок ниже, вы можете видеть поперечное сечение обеих этих фигур на определенной высоте:

Попробуем найти площадь поперечного сечения обоих этих тел на высоте h над основанием.

Сечение полушария всегда является .

Радиус х поперечного сечения является частью прямоугольного треугольника , поэтому мы можем использовать теорему Пифагора :

r2=h2+x2

Тогда площадь поперечного сечения

Поперечное сечение цилиндра с вырезанным конусом всегда является .

Радиус отверстия равен h . Мы можем найти площадь кольца, вычтя площадь отверстия из площади большего круга:

A	=	πr2−πh2
	=	πr2−h2

Похоже, что оба тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на каждом уровне. По принципу Кавальери, оба тела должны также иметь одинаковый ! Мы можем найти объем полушария, вычтя из объема цилиндра объем конуса :

VПолусфера	=	VЦилиндр−VКонус
	=

Шар состоит из полушарий, это означает, что его объем должен быть

V=43πr3

Земля - это шар (приблизительно) с радиусом 6 371 км. Поэтому его объем

V	=
	=	1 km3

Средняя плотность Земли 5510kg/m3 , Это означает, что ее общая масса

Масса=Объем×Плотность≈6×1024kg

Это 6, за которой следуют 24 нуля!

Если вы сравните уравнения для объема цилиндра, конуса и шара, вы можете заметить одно интересное соотношение. Представьте, что у нас есть цилиндр, у которого высота в два раза больше радиуса его основания. Теперь в этот цилиндр мы можем идеально вписать и конус, и шар:

Этот конус имеет радиус r и высоту 2r . Его объем

Этот шар имеет радиус r . Его объем

Этот цилиндр имеет радиус r и высоту 2r . Его объем

Обратите внимание, если мы объем конуса и шара, мы получим именно объем цилиндра!

Площадь поверхности сферы

Найти формулу для площади поверхности сферы очень сложно. Одна из причин заключается в том, что мы не можем получить развертку сферы, как мы делали это раньше для конусов и цилиндров.

Это особая проблема при попытке создания карт. Земля имеет изогнутую трехмерную поверхность, но каждая печатная карта должна быть плоской и двухмерной. Это означает, что географы должны немного обманывать: растягивая или сжимая определенные области.

Здесь вы можете увидеть несколько разных типов карт, называемых проекциями . Попробуйте переместить красный квадрат, и посмотреть , как эта область на самом деле выглядит на земном шаре:

Меркатор

Цилиндрическая

Робинзон

Моллвейд

Когда вы перемещаете квадрат по карте, заметьте как размер и форма реальной области меняется на поверхности земного шара.

Чтобы найти площадь поверхности сферы, мы можем еще раз приблизить ее, используя другую форму - например, многогранник с множеством граней. По мере увеличения числа граней многогранник становится все больше и больше похожим на сферу.

СКОРО: нахождение поверхности сферы

Изменить язык

Войдите в Mathigon

Поделиться

Сбросить прогресс

Глоссарий