Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Круги и ПиСферы, конусы и цилиндры

Время чтения: ~50 min

В предыдущих разделах мы изучали свойства окружностей на плоской поверхности. Но наш мир на самом деле трехмерный, поэтому давайте взглянем на некоторые трехмерные тела, основанные на кругах:

Цилиндр состоит из двух параллельных параллельных окружностей, соединенных изогнутой поверхностью.

Конус имеет круглое основание, соединенное с одной точкой (называемой вершиной).

Каждая точка на поверхности сферы имеет одинаковое расстояние от ее центра.

Обратите внимание, что определение сферы почти совпадает с определением - кроме трех измерений!

Цилиндры

Здесь вы можете увидеть цилиндрический газометр в Оберхаузене, Германия. Он использовался для хранения природного газа, который использовался в качестве топлива на близлежащих заводах и электростанциях. Газометр имеет высоту 120 метров, а его основание и потолок представляют собой два больших круга радиусом 35 метров. Есть два важных вопроса, на которые инженеры могут захотеть ответить:

  • Сколько природного газа можно хранить? Это цилиндра. * {.reveal(data-when="blank-0")} Сколько стали нужно, чтобы построить газометр? Это (приблизительно) цилиндра.

Попробуем найти формулы для обоих этих результатов!

Газометр Оберхаузен

Объем цилиндра

Верх и низ цилиндра представляют собой два конгруэнтных круга, называемых основаниями . высота h цилиндра представляет собой перпендикулярное расстояние между этими основаниями, и радиус r цилиндра - это просто радиус круговых оснований.

Мы можем приблизить цилиндр с помощью ${n} призма . По мере увеличения количества сторон призма начинает все больше походить на цилиндр:

Хотя цилиндр технически не является призмой, он обладает многими свойствами. В обоих случаях мы можем найти объем, умножив площадь их база с их высота Это означает, что цилиндр с радиусом г и высота ч имеет объем

V=

Помните, что радиус и высота должны использовать одинаковые единицы. Например, если r и h оба в см, то объем будет в

В приведенных выше примерах два основания цилиндра всегда были непосредственно друг над другом : это называется правым цилиндром . Если основания не находятся прямо друг над другом, у нас есть наклонный цилиндр . Основания все еще параллельны, но стороны, кажется, «наклоняются» под углом, не равным 90°.

Пизанская башня в Италии - не совсем косой цилиндр.

Объем наклонного цилиндра оказывается точно таким же, как у правого цилиндра с таким же радиусом и высотой. Это связано с принципом Кавальери , названным в честь итальянского математика Бонавентуры Кавальери : если два тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на каждой высоте, то они будут иметь одинаковый объем.

Представьте себе нарезку цилиндра на множество тонких дисков. Затем мы можем сдвинуть эти диски в горизонтальное положение, чтобы получить наклонный цилиндр. Объем отдельных дисков не изменяется, так как вы делаете его наклонным, поэтому общий объем также остается постоянным:

Площадь поверхности цилиндра

Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нам нужно «развернуть» его в плоскую сетку . Вы можете попробовать это сами, например, сняв этикетку с банки с едой.

Есть два , один сверху и один снизу цилиндра. Изогнутая сторона на самом деле большой

  • Два круга каждый имеют площадь , * {.reveal(data-when="eqn-0")} Высота прямоугольника и ширина прямоугольника равна окружностей: ,

Это означает, что общая площадь поверхности цилиндра с радиусом r и высотой h определяется как

A= ,

Цилиндры можно найти повсюду в нашем мире - от банок содовой до туалетной бумаги или водопроводных труб. Можете ли вы вспомнить другие примеры?

Газометр выше имел радиус 35 метров и высоту 120 метров. Теперь мы можем рассчитать, что его объем составляет примерно m3 и его площадь поверхности составляет примерно m2 ,

Конусы

Конус - это трехмерное твердое тело с круговым база . Его сторона «сужается вверх», как показано на рисунке, и заканчивается в одной точке, называемой вершина

радиус конуса является радиусом круглого основания, а Высота конуса - это перпендикулярное расстояние от основания до вершины.

Как и другие формы, которые мы встречали раньше, вокруг нас повсюду шишки: конусы мороженого, дорожные конусы, некоторые крыши и даже рождественские елки. О чем еще можно думать?

Объем Конуса

Ранее мы нашли объем цилиндра, аппроксимировав его с помощью призмы. Точно так же мы можем найти объем конуса, аппроксимируя его с помощью пирамиды .

Здесь вы можете увидеть ${n} пирамида По мере увеличения числа сторон пирамида начинает все больше походить на конус. На самом деле, мы можем думать о конусе как о пирамиде с бесконечным числом сторон!

Это также означает, что мы также можем использовать уравнение для объема: V=13base×height , Основание конуса представляет собой круг, поэтому объем конуса с радиусом r и высотой h равен

V=

Обратите внимание на сходство с уравнением для объема цилиндра. Представьте себе, что вокруг конуса нарисован цилиндр с таким же основанием и высотой - это называется описанным цилиндром . Теперь конус займет ровно объема цилиндра:

Примечание: вы можете подумать, что бесконечное множество крошечных граней в качестве приближения немного «неточно». Математики потратили много времени, пытаясь найти более простой способ расчета объема конуса. В 1900 году великий математик Дэвид Гильберт даже назвал его одной из 23 самых важных нерешенных проблем математики! Сегодня мы знаем, что это на самом деле невозможно.

Точно так же, как цилиндр, конус не должен быть «прямым». Если вершина находится прямо над центром основания, у нас есть правый конус . В противном случае мы называем это косым конусом .

Еще раз, мы можем использовать принцип Кавальери, чтобы показать, что все наклонные конусы имеют одинаковый объем, если они имеют одинаковое основание и высоту.

Площадь поверхности конуса

Найти площадь поверхности конуса немного сложнее. Как и прежде, мы можем распутать конус в его сети. Переместите ползунок, чтобы увидеть, что происходит: в этом случае мы получаем один круг и один

Теперь нам нужно просто сложить площадь обоих этих компонентов. Основание представляет собой круг с радиусом r , поэтому его площадь

ABase= ,

Радиус сектор равен расстоянию от края конуса до его вершины. Это называется наклонная высота s конуса, а не такая, как у нормального высота ч . Мы можем найти наклонную высоту, используя Пифагор :

s2=
s=

длина дуги сектора равна база : 2πr , Теперь мы можем найти площадь сектора, используя формулу, которую мы вывели в предыдущем разделе:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Наконец, мы просто должны сложить площадь база и площадь сектора , чтобы получить общую площадь поверхности конуса:

A=

Spheres

Сфера - это трехмерное тело, состоящее из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданного центр C. Это расстояние называется радиус r сферы.

Вы можете думать о сфере как о «трехмерном круге ». Как и круг, сфера также имеет диаметр d , который в длины радиуса, а также аккордов и секущих.

В предыдущем разделе вы узнали, как греческий математик Эратосфен вычислил радиус Земли, используя тень от полюса - он составлял 6 371 км. Теперь давайте попробуем найти общий объем Земли и площадь поверхности.

Объем сферы

Чтобы найти объем сферы, мы снова должны использовать принцип Кавальери. Начнем с полушария - сферы, разрезанной пополам вдоль экватора. Нам также нужен цилиндр с таким же радиусом и высотой, как у полушария, но с перевернутым в середине перевернутым конусом.

Перемещая ползунок ниже, вы можете видеть поперечное сечение обеих этих фигур на определенной высоте над основанием:

Попробуем найти площадь поперечного сечения обоих этих тел на расстоянии высота h над основанием.

Сечение полушария всегда

радиус х поперечного сечения является частью прямоугольный треугольник , поэтому мы можем использовать Пифагор :

r2=h2+x2 ,

Теперь площадь поперечного сечения

A=

Поперечное сечение вырезаемого цилиндра всегда является

Радиус отверстия составляет h . Мы можем найти площадь кольца, вычтя площадь отверстия из области большего круга:

A=πr2πh2
=πr2h2

Похоже, что оба тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на каждом уровне. По принципу Кавальери, оба тела должны также иметь одинаковый ! Мы можем найти объем полушария, вычитая объем цилиндра и объем конуса :

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Сфера состоит из полушарий, это означает, что его объем должен быть

V=43πr3 ,

Земля (приблизительно) сфера с радиусом 6 371  км. Поэтому его объем

V=
= 1 km3

Средняя плотность Земли 5510kg/m3 , Это означает, что его общая масса

Mass=Volume×Density6×1024kg

Это 6, за которыми следуют 24 нуля!

Если вы сравните уравнения для объема цилиндра, конуса и сферы, вы можете заметить одно из наиболее удовлетворительных соотношений в геометрии. Представьте, что у нас есть цилиндр с той же высотой, что и диаметр его основания. Теперь мы можем идеально вписать и конус, и сферу внутри:

+

Этот конус имеет радиус r и высота 2r , Его объем

=

Эта сфера имеет радиус r , Его объем

Этот цилиндр имеет радиус r и высота 2r , Его объем

Обратите внимание, как, если мы объем конуса и сферы, мы получим именно объем цилиндра!

Площадь поверхности сферы

Найти формулу для площади поверхности сферы очень сложно. Одна из причин заключается в том, что мы не можем открыть и «сплющить» поверхность сферы, как мы делали это раньше для конусов и цилиндров.

Это особая проблема при попытке создания карт. Земля имеет изогнутую трехмерную поверхность, но каждая печатная карта должна быть плоской и двухмерной. Это означает, что географы должны обманывать: растягивая или прижимая определенные области.

Здесь вы можете увидеть несколько разных типов карт, называемых проекциями . Попробуйте переместить красный квадрат, и посмотреть , что эта область на самом деле выглядит на земном шаре:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

Чтобы найти площадь поверхности сферы, мы можем еще раз приблизить ее, используя другую форму - например, многогранник с множеством граней. По мере увеличения числа граней многогранник становится все больше и больше похожим на сферу.

СКОРО: доказательство поверхности сферы