Изменить язык

Englishعربى中文DeutschEspañolFrançaisहिन्दीHrvatskiItaliano日本語PortuguêsRomânăРусскийSvenskaTürkçeTiếng Việt

Войдите в Mathigon

или

Новый аккаунт     Сброс пароля     

Многоугольники и многогранники
Полигоны
Четырехугольники
Замощение
Многогранники
Развёртки и сечения
Призмы и пирамиды
Масштабирование форм и тел
Платоновы тела

Поделиться

Сбросить прогресс

Это приведет к удалению вашего прогресса и данных чата для всех глав этого курса, и их нельзя будет отменить!

Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Многоугольники и многогранникиПолигоны

Время чтения: ~30 min

Многоугольник - это замкнутая, плоская фигура, которая имеет какое-то количество сторон. Многоугольники могут иметь любое количество сторон и углов, но стороны не могут быть изогнуты. Какие из фигур ниже являются многоугольниками?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Мы даем разные названия многоугольникам, в зависимости от того, сколько у них сторон:

number-3

Треугольник
3 стороны

number-4

Четырехугольник
4 стороны

number-5

Пятиугольник
5 сторон

number-6

Шестиугольник
6 сторон

number-7

Семиугольник
7 сторон

number-8

Восьмиугольник
8 сторон

Углы в многоугольниках

Каждый многоугольник, который имеет n сторон также имеет n внутренних углов . Мы уже знаем, что сумма внутренних углов в треугольнике всегда равна °, но что насчет других многоугольников?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Похоже, что сумма внутренних углов в четырехугольнике всегда равна ° - ровно суммы углов в треугольнике. Это не случайно: каждый четырехугольник можно разбить на два треугольника.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

То же самое также работает для больших многоугольников. Мы можем разделить пятиугольник на треугольника, поэтому его внутренняя угловая сумма 3×180°= °. И мы можем разделить шестиугольник на треугольника, поэтому сумма его внутренняя углов равна 4×180°= °.

Многоугольник с ${x} сторонами будет иметь сумму внутренних углов 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Получается, многоугольник с n сторонами может быть разбит на треугольников. Следовательно,

Сумма внутренних углов в n- угольнике =n−2×180° ,

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Мы говорим, что многоугольник невыпуклый, если у него есть угол, который «смотрит внутрь». Этот угол как будто «прогнулся» . Если такого угла нет, то такие многоугольники называются выпуклыми .

Есть два способа легко определить невыпуклые многоугольники: у них есть хотя бы один внутренний угол, который больше 180° . Или у него есть по крайней мере одна диагональ, лежащая вне многоугольника .

С другой стороны, в выпуклых многоугольниках все внутренние углы меньше °, а все диагонали лежат многоугольника.

Какие из этих многоугольников невыпуклые?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Правильные многоугольники

Мы говорим, что многоугольник является правильным, если все его стороны имеют одинаковую длину и все углы имеют одинаковый размер. Какие из этих фигур являются правильными многоугольниками?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Правильные многоугольники могут быть разных размеров, но все правильные многоугольники с одинаковым числом сторон !

Мы уже знаем сумму всех внутренних углов в многоугольниках. Для правильных многоугольников все эти углы имеют , поэтому мы можем определить размер одного внутреннего угла:

угол = = 180°×x−2x=180°−360°x ,

Если n=3 мы получаем углы равностороннего треугольника - мы уже знаем, что они равны °. В правильном многоугольнике с ${x} сторонами, каждый внутренний угол равен 180° - 360°${x} знак равно ${round(180-360/x)}°.

Площадь правильных многоугольников

Здесь вы можете увидеть правильный многоугольник с ${n} сторонами. Каждая сторона имеет длину 1 м Попробуем рассчитать его площадь!

Во-первых, мы можем разбить многоугольник на ${toWord(n)} конгруэнтных, треугольников.

Мы уже знаем этих треугольников, но нам также нужна , чтобы можно было рассчитать его площадь. В правильных многоугольниках эту высоту иногда называют апофема

Обратите внимание, что мы получили прямоугольный треугольник , образованный апофемой и половиной основания равнобедренного треугольника. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию!

Углы при основании равнобедренного треугольника (назовем их α) равны размера внутреннего угла многоугольника многоугольника:

α=12180°−360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Чтобы найти апофему, мы можем использовать определение :

tgα=противолежащий катетприлежащий катет=

⇒апофема=12s×tgα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника

12основания×высота=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Многоугольник состоит из ${toWord(n)} равных равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет такую же площадь. Следовательно, общая площадь многоугольника

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Archie