Многоугольники и многогранникиЧетырехугольники

В предыдущем курсе мы исследовали множество различных свойств треугольников. Теперь давайте посмотрим на четырехугольники.

Правильный четырехугольник называется . Все его стороны имеют одинаковую длину, и все его углы равны.

Квадрат - четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами .

Для «менее правильных» четырехугольников у нас есть два варианта. Если мы просто хотим, чтобы только углы четырехугольника были равны, мы получим прямоугольник . Если мы хотим, чтобы только стороны были равны, мы получим ромб .

Прямоугольник - это четырехугольник с четырьмя равными углами .

Ромб - четырехугольник с четырьмя равными сторонами .

Есть еще несколько четырехугольников, которые "еще менее правильные", но все же имеют определенные важные свойства:

Если обе пары противоположных сторон параллельны , мы получим параллелограмм .

Если две пары соседних сторон имеют одинаковую длину, мы получаем Дельтоид (или ромбоид).

Если хотя бы одна пара противоположных сторон параллельна, мы получаем трапецию .

Четырехугольники могут попадать в несколько различных категорий. Мы можем визуализировать иерархию различных типов четырехугольников в виде диаграммы Венна :

Например, каждый прямоугольник также является , и каждый также является дельтоидом. Ромб квадратом и прямоугольник трапецией.

Чтобы избежать двусмысленности, мы обычно используем только наиболее точное название. Мы не будем называть квадрат ромбом, так как это название не отображает все его свойства.

Теперь выберите четыре точки в любом месте серого поля слева. Мы можем соединить их, чтобы сформировать четырехугольник.

Давайте найдем середину каждой из четырех сторон. Если мы соединяем середины, мы получим

Попробуйте переместить вершины первоначального четырехугольника и понаблюдать, что происходит с меньшим. Похоже, что это не просто четырехугольник, это всегда !

Но почему? Почему для любого четырехугольника результатом всегда будет параллелограмм? Чтобы это объяснить, нам нужно нарисовать одну из диагоналей исходного четырехугольника.

Диагональ разбивает четырехугольник на два треугольника . И теперь вы можете видеть, что две стороны внутреннего четырехугольника на самом деле являются этих треугольников.

В предыдущем курсе мы узнали, что средняя линия треугольника всегда параллельна его основанию. В этом случае это означает, что обе эти стороны параллельны диагонали - поэтому они также должны быть .

Аналогично мы можем сделать то же самое со второй диагональю четырехугольника, чтобы доказать, что противоположные стороны попарно параллельны. И это все, что нам нужно, чтобы доказать, что внутренний четырехугольник является параллелограммом .

Параллелограммы

Оказывается, у параллелограммов есть много других интересных свойств, кроме того, что противоположные стороны параллельны. Какие из следующих шести утверждений верны?

Противоположные стороны конгруэнтны.

Внутренние углы всегда меньше 90°.

Диагонали параллелограмма являются биссектрисами внутренних углов.

Противоположные углы конгруэнтны.

Обе диагонали конгруэнтны.

Смежные стороны конгруэнтны.

Диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Конечно, просто «увидеть» за эти свойства недостаточно. Чтобы быть уверенными, что они всегда верны, нам нужно доказать их:

Противоположные стороны и углы

Попробуем доказать, что противоположные стороны и углы в параллелограмме всегда равны.

Начните с рисования одной из диагоналей параллелограмма.

Диагональ создает четыре угла со сторонами параллелограмма. Два красных угла и два синих угла являются накрест лежащими , поэтому красные углы и синие углы должны быть .

Теперь, если мы посмотрим на два треугольника, созданных диагональю, мы увидим, что они имеют два конгруэнтных угла и одну конгруэнтную сторону . По признаку конгруэнтности , оба треугольника должны быть конгруэнтными.

Это означает, что другие соответствующие части треугольников также должны быть конгруэнтными: в частности, обе пары противоположных сторон конгруэнтны, и обе пары противоположных углов тоже конгруэнтны.

Оказывается, обратное также верно: если обе пары противоположных сторон (или углов) в четырехугольнике являются конгруэнтными, то данный четырехугольник параллелограмм.

Диагонали

Теперь докажем, что диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам.

Давайте рассмотрим два желтых треугольника, созданных диагоналями:

Мы только что доказали, что две зеленые стороны конгруэнтны, потому что они являются противоположными сторонами параллелограмма.
Два красных угла и два синих угла конгруэнтны, потому что они являются .

По признаку конгруэнтности оба желтых треугольника также должны быть конгруэнтными.

Теперь мы можем использовать тот факт, что соответственные части конгруэнтных треугольников также конгруэнтны, чтобы сделать вывод, что AM‾ = CM‾ и BM‾ = DM‾ , Другими словами, две диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Как и прежде, верно и обратное: если две диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.

Воздушные змеи

Выше мы рассмотрели четырехугольник, у которого две пары сторон конгруэнтны. В дельтоиде две пары смежных сторон конгруэнтны.

Название дельтоид (по-английски kite) происходит от его формы: он похож на kite - воздушного змея. Однако из всех особых четырехугольников, которые мы видели до сих пор, дельтоид - единственный, который также может быть невыпуклым : если он имеет форму стрелы:

Выпуклый дельтоид

Невыпуклый дельтоид, похожий на стрелу

Вы могли заметить, что все дельтоиды . Осью симметрии является .

Диагональ разбивает дельтоид на два конгруэнтных треугольника . Мы знаем, что они конгруэнтны по признаку SSS : оба треугольника имеют три конгруэнтные стороны (красная, зеленая и синяя).

Из конгруэнтности мы получаем, что соответственные углы также должны быть конгруэнтными.

Это означает, например, что диагональ является двух противоположных углов.

Мы можем пойти еще дальше: если мы нарисуем другую диагональ, мы получим два меньших треугольника . Они также должны быть конгруэнтными по условию SAS : они имеют конгруэнтные две стороны и угол между ними .

Это означает, что угол α также должен быть конгруэнтен углу β . Так как эти углы являются смежными , то и α, и β должны равняться °.

Другими словами, диагонали дельтоида всегда .

Площадь четырехугольников

При расчете площади треугольников в предыдущем курсе мы использовали метод преобразования его в Оказывается, мы можем сделать это и для некоторых четырехугольников:

Параллелограмм

Слева попробуйте нарисовать прямоугольник, который имеет ту же площадь, что и параллелограмм.

Вы видите, что недостающий треугольник слева имеет площадь площадь части параллелограмма справа? Следовательно, площадь параллелограмма

Площадь = основание × высоту

Будьте осторожны при измерении высоты параллелограмма: она обычно не совпадает с одной из двух сторон.

Трапеция

Напомним, что трапеции являются четырехугольником с одной парой параллельных сторон . Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Как и прежде, попробуйте нарисовать прямоугольник, который имеет ту же площадь, что и эта трапеция. Вы заметили, как нужно переместить треугольники слева и справа?

Высота этого прямоугольника - это параллельными сторонами трапеции.

Ширина прямоугольника - это расстояние между двух непараллельных сторон трапеции. Это называется средняя линия трапеции.

Как и в случае с треугольниками , средняя линия трапеции ее основаниям. Длина средней линии - это средняя арифметическое длин оснований: a+c2 .

Если мы объединим все это, мы получим уравнение для площади трапеции с параллельными сторонами a и c и высотой h :

A=h×a+c2

Дельтоид

В этом дельтоиде две диагонали образуют ширину и высоту большого прямоугольника, в который вписан дельтоид.

Площадь этого прямоугольника площади дельтоида. Вы заметили, что каждый из четырех треугольников , составляющих дельтоид, равен четырем зазорам снаружи?

Это означает, что площадь воздушного змея с диагоналями d1 и d2 это

Площадь = 12 d1 × д2 .

Ромб

Ромб - это четырехугольник с четырьмя конгруэнтными сторонами. Возможно, вы помните, что каждый ромб является - а также .

Это означает, что для определения площади ромба мы можем использовать либо уравнение для площади параллелограмма, либо уравнение для площади дельтоида:

Площадь = основание × высота = 12 d1 × d2 .

В разных задачах вам могут быть даны разные части ромба (стороны, высота, диагонали), и вы можете выбрать любое удобное уравнение.

Изменить язык

Войдите в Mathigon

Поделиться

Сбросить прогресс

Глоссарий