Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Полигоны и многогранникиПаркеты

Время чтения: ~25 min

Полигоны появляются повсюду в природе. Они особенно полезны, если вы хотите разбить большую площадь на части, потому что вы можете совмещать многоугольники без каких-либо пробелов или перекрытий. Такие шаблоны называются тесселяциями .

сот

Sinaloan Молочная змеиная кожа

Клеточная структура листьев

Базальтовые колонны на мощёной дорожке в Северной Ирландии

Кожа ананаса

Скорлупа черепахи

Люди скопировали многие из этих естественных паттернов в искусстве, архитектуре и технике - от древнего Рима до современности. Вот несколько примеров:

схема покрытия

Теплица в проекте Eden в Англии

Мозаика в Альгамбре

крыша в Британском музее в Лондоне

Павильон сотовой тесселяции в Сиднее

Изучение регулярного деления самолета с рептилиями , М.К. Эшер

Здесь вы можете создавать свои собственные тесселяции, используя обычные полигоны. Просто перетащите новые формы с боковой панели на холст. Какие формы хорошо тесселяются? Есть ли какие-либо формы, которые вообще не тесселяются? Попробуйте создать интересные шаблоны!

Examples of other students’ tessellations

Тесселяции из правильных многоугольников

Вы могли заметить, что некоторые правильные многоугольники (например, ) тесселяция очень легко, в то время как другие (как ) не похоже на тесселяцию вообще.

Это связано с размером их внутренних углов , который мы научились вычислять ранее. В каждой вершине тесселяции встречаются внутренние углы множества разных многоугольников. Нам нужно, чтобы все эти углы складывались до °, иначе будет либо зазор, либо перекрытие.

triangles

Треугольники потому что 6 × 60° = 360°.

squares

Квадраты потому что 4 × 90° = 360°.

pentagons

Пентагоны потому что кратные 108° не складываются до 360°.

hexagons

Шестиугольники потому что 3 × 120° = 360°.

Вы также можете проверить, что, как и пятиугольники, любой правильный многоугольник с 7 или более сторонами не тесселят. Это означает, что единственные правильные многоугольники, которые тесселяют, - это треугольники, квадраты и шестиугольники!

Конечно, вы можете комбинировать различные виды правильных многоугольников в тесселяции, при условии, что их внутренние углы могут составлять до 360°:

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

Тесселяции из неправильных многоугольников

Мы также можем попытаться сделать тесселяции из неправильных многоугольников - если мы будем осторожны при их вращении и расположении.

Получается, что вы можете тесселяции не просто равносторонних треугольников, а любого треугольника ! Попробуйте переместить вершины на этой диаграмме.

Сумма внутренних углов в треугольнике составляет °. Если мы используем каждый угол в каждой вершине тесселяции мы получаем 360°:

Что еще более удивительно, любой четырехугольник также тесселят! Сумма их внутренних углов равна °, поэтому, если мы используем каждый угол в каждой вершине тесселяции мы получаем 360°.

Пентагоны немного сложнее. Мы уже видели, что обычные пятиугольники , а как насчет нестандартных?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

Вот три разных примера тесселяции с пятиугольниками. Они не являются регулярными , но они являются совершенно действительными 5-сторонними полигонами.

До настоящего времени математики нашли только 15 различных видов тесселяций с (выпуклыми) пятиугольниками - самый последний из которых был обнаружен в 2015 году. Никто не знает, есть ли другие, или эти 15 единственные…

Тесселяции в искусстве

Тесселяции - это и инструмент, и вдохновение для многих художников, архитекторов и дизайнеров - наиболее известного голландского художника MC Escher . Работа Эшера содержит странные, мутирующие существа, узоры и пейзажи:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

Эти работы часто выглядят забавно и без усилий, но основные математические принципы те же, что и раньше: углы, повороты, переводы и многоугольники. Если математика не верна, тесселяция не сработает!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

Пенроуз Тиллингс

Все тесселяции, которые мы видели до сих пор, имеют одну общую черту: они являются периодическими . Это означает, что они состоят из регулярного шаблона, который повторяется снова и снова. Они могут продолжаться вечно во всех направлениях и везде будут выглядеть одинаково.

В 1970-х годах британский математик и физик Роджер Пенроуз открыл непериодические тесселяции - они все еще продолжаются бесконечно во всех направлениях, но никогда не выглядят одинаково. Это так называемые тиллинги Пенроуза , и для создания одного из них нужно всего несколько видов полигонов:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

Пенроуз изучал тесселяции исключительно для забавы, но оказалось, что внутренняя структура некоторых реальных материалов (таких как алюминий) имеет сходный характер. Узор даже использовался на туалетной бумаге, потому что производители заметили, что непериодический узор можно свернуть без выпуклостей.