Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Полигоны и многогранникиПлатоновы тела

Время чтения: ~35 min

В начале этого курса мы определили правильные многоугольники как особенно «симметричные» многоугольники, где все стороны и углы одинаковы. Мы можем сделать что-то подобное для многогранников.

В правильном многограннике все грани являются одинаковым видом правильного многоугольника, и в каждой вершине встречается одинаковое количество граней. Многогранники с этими двумя свойствами называются Платоновыми телами , названными в честь греческого философа Платона .

Так как же выглядят платоновы тела и сколько их там? Чтобы сделать трехмерную фигуру, нам нужно как минимум грани, чтобы встретиться в каждой вершине. Давайте начнем систематически с наименьшего правильного многоугольника: равносторонние треугольники:

Если мы создадим многогранник, где три равносторонних треугольника встречаются в каждой вершине, мы получим форму слева. Он называется тетраэдр и имеет лица. («Тетра» означает «четыре» на греческом языке).

Если четыре равносторонних треугольника встречаются в каждой вершине, мы получаем различное платоновское тело. Он называется Октаэдр и имеет граней. («Octa» означает «восемь» на греческом языке. Так же, как «Octagon» означает 8-стороннюю форму, «Octahedron» означает 8-гранное тело.)

Если в каждой вершине встречаются треугольников, мы получаем икосаэдр . У него лиц. («Икоса» означает «двадцать» на греческом языке.)

Если в каждой вершине встречаются треугольников, происходит что-то другое: мы просто получаем , вместо трехмерного многогранника.

И семь или более треугольников в каждой вершине также не создают новых многогранников: вокруг вершины недостаточно места, чтобы поместиться в такое количество треугольников.

Это означает, что мы нашли Платоновых тела, состоящих из треугольников. Давайте перейдем к следующему правильному многоугольнику: квадраты.

Если квадрата встречаются в каждой вершине, мы получаем куб . Точно так же как игра в кости, у этого есть лиц. Куб иногда также называют _шестигранником , после греческого слова «гекса» для «шесть»._

Если квадрата встречаются в каждой вершине, мы получаем . И, как и раньше, пять или более квадратов тоже не сработают.

Далее давайте попробуем обычные пятиугольники:

Если пятиугольника встречаются в каждой вершине, мы получаем додекаэдр . У него граней. («Додека» означает «двенадцать» по-гречески.)

Как и раньше, четыре или более пятиугольников потому что не хватает места.

Следующий правильный полигон - это шестиугольники:

Если три шестиугольника встречаются в каждой вершине, мы немедленно получаем Поскольку места больше трех нет, кажется, что нет платоновых тел, состоящих из шестиугольников.

То же самое происходит и для всех правильных многоугольников с более чем шестью сторонами. Они не тесселяют, и мы, конечно, не получаем никаких трехмерных полигонов.

Это означает, что есть только платоновых тел! Давайте посмотрим на них всех вместе:

Тетраэдр

лица
вершины
ребер

куб

лиц
вершин
ребер

Октаэдр

лиц
вершин
ребер

Додекаэдр

лиц
20 вершин
30 ребер

Икосаэдр

лиц
12 вершин
30 ребер

Обратите внимание , как число граней и вершин меняются для куба и октаэдра , а также для додекаэдра и икосаэдра , в то время как число ребер . Эти пары платоновых тел называются двойными телами .

Мы можем превратить многогранник в его двойственный, «заменив» каждую грань вершиной, а каждую вершину гранью. Эти анимации показывают, как:

Тетраэдр является двойственным с самим собой. Поскольку у него одинаковое количество граней и вершин, их замена ничего не изменит.

Платон считал, что вся материя во Вселенной состоит из четырех элементов: воздуха, земли, воды и огня. Он думал, что каждый элемент соответствует одному из Платоновых тел, а пятый будет представлять вселенную в целом. Сегодня мы знаем, что существует более 100 различных элементов, которые состоят из сферических атомов, а не многогранников.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Архимедовы тела

Платоновы твердые тела являются особенно важными многогранниками, но существует множество других.

Например, архимедовы твердые тела все еще должны состоять из правильных многоугольников , но вы можете использовать несколько различных типов. Они названы в честь другого греческого математика, Архимеда Сиракузского , и их 13:

Усеченный тетраэдр
8 граней, 12 вершин, 18 ребер

кубооктаэдр
14 граней, 12 вершин, 24 ребра

Усеченный куб
14 граней, 24 вершины, 36 ребер

Усеченный восьмигранник
14 граней, 24 вершины, 36 ребер

ромбокубооктаэдр
26 граней, 24 вершины, 48 ребер

Усеченный кубоктаэдр
26 граней, 48 вершин, 72 ребра

Snub Cube
38 граней, 24 вершины, 60 ребер

икосододекаэдр
32 грани, 30 вершин, 60 граней

Усеченный додекаэдр
32 грани, 60 вершин, 90 граней

Усеченный икосаэдр
32 грани, 60 вершин, 90 граней

ромбоикосододекаэдр
62 грани, 60 вершин, 120 граней

Усеченный икозидодекаэдр
62 грани, 120 вершин, 180 граней

Снуб Додекаэдр
92 грани, 60 вершин, 150 граней

Приложения

Платон ошибался, полагая, что все элементы состоят из платоновых тел. Но обычные многогранники обладают многими особыми свойствами, которые заставляют их появляться в других местах в природе - и мы можем скопировать эти свойства в науке и технике.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Многие вирусы , бактерии и другие мелкие организмы имеют форму икосаэдров . Например, вирусы должны заключать свой генетический материал в оболочку из множества идентичных белковых единиц. Икосаэдр является наиболее эффективным способом сделать это, потому что он состоит из нескольких правильных элементов, но почти имеет форму сферы.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Многие молекулы имеют форму правильных многогранников. Самый известный пример C60 который состоит из 60 атомов углерода, расположенных в форме усеченного икосаэдра .

Он был открыт в 1985 году, когда ученые исследовали межзвездную пыль. Они назвали его «Buckyball» (или «Бакминстерфуллерен») в честь архитектора Бакминстера Фуллера , известного тем, что строил похожие здания.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

У большинства кристаллов их атомы расположены в регулярной сетке, состоящей из тетраэдров , кубов или октаэдров . Когда они растрескиваются или разрушаются, вы можете увидеть эти формы в большем масштабе.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Тетраэдры и октаэдры невероятно жесткие и устойчивые, что делает их очень полезными в строительстве . Космические рамы - это многоугольные конструкции, которые могут поддерживать большие крыши и тяжелые мосты

Football

Polygonal role-playing dice

Платоновые тела также используются для создания костей . из-за их симметрии у каждой стороны есть вероятность посадки лицом вверх - таким образом, кости являются справедливыми.

Усеченный икосаэдр , пожалуй, самый известный многогранник в мире: это форма футбольного мяча.