Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Многоугольники и многогранникиПлатоновы тела

Время чтения: ~30 min

В начале этого курса мы определили правильные многоугольники как особенно «симметричные» многоугольники, где все стороны и углы конгруэнтны. Мы можем сделать что-то подобное для многогранников.

В правильном многограннике все грани являются конгруэнтными правильными многоугольниками, и в каждой вершине встречается одинаковое количество граней. Многогранники с этими двумя свойствами называются Платоновыми телами , названными в честь греческого философа Платона .

Так как же выглядят платоновы тела и сколько их там? Чтобы сделать трехмерную фигуру, нам нужно как минимум грани, которые встречаются в каждой вершине. Давайте начнем с наиболее простого правильного многоугольника: равностороннего треугольника.

Если мы создадим многогранник, где три равносторонних треугольника встречаются в каждой вершине, мы получим фигуру слева. Она называется тетраэдр и имеет грани. («Тетра» означает «четыре» на греческом языке).

Если в каждой вершине встречаются четыре равносторонних треугольника, мы получаем другое платоновское тело. Он называется Октаэдр и имеет граней. («Octa» означает «восемь» на греческом языке. Так же, как «Octagon» означает 8-стороннюю фигуру, «Octahedron» означает 8-гранное тело.)

Если в каждой вершине встречаются треугольников, мы получим икосаэдр . У него граней. («Икоси» означает «двадцать» на греческом языке.)

Если в каждой вершине встречаются треугольников, происходит что-то интересное: мы просто получаем , вместо трехмерного многогранника.

Семь или более треугольников в каждой вершине также не создают новых многогранников: вокруг вершины недостаточно места, чтобы поместить такое количество треугольников.

Это означает, что мы нашли Платоновых тела, состоящих из треугольников. Давайте перейдем к следующему правильному многоугольнику: квадрату.

Если квадрата встречаются в каждой вершине, мы получаем куб . Точно так же как у игральной кости, у куба есть граней. Куб иногда также называют шестигранником, от греческого слова «гекса» - шесть.

Если квадрата встречаются в каждой вершине, мы получаем . И, как и раньше, пять или более квадратов тоже не дадут нам многогранник.

Далее давайте попробуем поработать с пятиугольниками:

Если пятиугольника встречаются в каждой вершине, мы получаем додекаэдр . У него граней. («Додека» означает «двенадцать» по-гречески.)

Как и раньше, четыре и более пятиугольников в одной вершине многогранник, потому что не хватает места.

Следующий правильный многоугольник - это шестиугольник:

Если три шестиугольника встречаются в каждой вершине, мы немедленно получаем Поскольку места больше нет, кажется, что нет платоновых тел, состоящих из шестиугольников.

То же самое происходит и для всех правильных многоугольников с более чем шестью сторонами. Мы больше не получаем никаких трехмерных полигонов.

Это означает, что есть только платоновых тел! Давайте посмотрим на них всех вместе:

Тетраэдр

грани
вершины
ребер

Куб

гранец
вершин
ребер

Октаэдр

граней
вершин
ребер

Додекаэдр

граней
20 вершин
30 ребер

Икосаэдр

граней
12 вершин
30 ребер

Обратите внимание, как число граней и вершин для куба и октаэдра , а также для додекаэдра и икосаэдра , в то время как число ребер . Эти пары платоновых тел называются двойственными многогранниками .

Мы можем превратить многогранник в двойственный ему, «заменив» каждую грань вершиной, а каждую вершину гранью. Эти анимации показывают, как это происходит:

Тетраэдр является двойственным самому себе. Поскольку у него одинаковое количество граней и вершин, их замена ничего не изменит.

Платон считал, что вся материя во Вселенной состоит из четырех элементов: воздуха, земли, воды и огня. Он думал, что каждый элемент соответствует одному из Платоновых тел, а пятый будет представлять вселенную в целом. Сегодня мы знаем, что существует более 100 различных элементов, которые состоят из атомов, а не многогранников.

Изображение из книги Иоганна Кеплера “Harmonices Mundi” (1619)

Архимедовы тела

Платоновы тела являются особенно важными многогранниками, но существует множество других.

Например, архимедовы тела будут состоять из правильных многоугольников , но не обязательно из одних и тех же. Они названы в честь другого греческого математика, Архимеда Сиракузского , и их 13:

Усеченный тетраэдр
8 граней, 12 вершин, 18 ребер

Кубооктаэдр
14 граней, 12 вершин, 24 ребра

Усеченный куб
14 граней, 24 вершины, 36 ребер

Усеченный восьмигранник
14 граней, 24 вершины, 36 ребер

Ромбокубооктаэдр
26 граней, 24 вершины, 48 ребер

Усеченный кубоктаэдр
26 граней, 48 вершин, 72 ребра

Курносый куб
38 граней, 24 вершины, 60 ребер

Икосододекаэдр
32 грани, 30 вершин, 60 граней

Усеченный додекаэдр
32 грани, 60 вершин, 90 граней

Усеченный икосаэдр
32 грани, 60 вершин, 90 граней

Ромбоикосододекаэдр
62 грани, 60 вершин, 120 граней

Усеченный икозидодекаэдр
62 грани, 120 вершин, 180 граней

Плосконосый додекаэдр
92 грани, 60 вершин, 150 граней

Применение

Платон ошибался, полагая, что все элементы состоят из платоновых тел. Но обычные многогранники обладают многими особыми свойствами, поэтому многогранники появляются в природе - и мы можем скопировать эти свойства в науке и технике.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Многие вирусы , бактерии и другие мелкие организмы имеют форму икосаэдров . Например, вирусы должны заключать свой генетический материал в оболочку из множества идентичных белковых единиц. Икосаэдр является наиболее эффективным способом сделать это, потому что он состоит из нескольких правильных элементов, но почти имеет форму сферы.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Многие молекулы имеют форму правильных многогранников. Самый известный пример C60 который состоит из 60 атомов углерода, расположенных в форме усеченного икосаэдра .

Он был открыт в 1985 году, когда ученые исследовали межзвездную пыль. Они назвали его «Buckyball» (или «Бакминстерфуллерен») в честь архитектора Бакминстера Фуллера , известного тем, что строил похожие здания.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

У большинства кристаллов атомы расположены в регулярной сетке, состоящей из тетраэдров , кубов или октаэдров . Когда они трескаются или разрушаются, вы можете увидеть эти формы в большем масштабе.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Тетраэдры и октаэдры невероятно жесткие и устойчивые, что делает их очень полезными в строительстве . Пространственные каркасы - это многоугольные конструкции, которые могут поддерживать большие крыши и тяжелые мосты.

Football

Polygonal role-playing dice

Платоновы тела также используются для создания костей . Из-за их симметрии у каждой стороны одинаковая вероятность выпасть - таким образом, кости являются справедливыми.

Усеченный икосаэдр , пожалуй, самый известный многогранник в мире: это форма футбольного мяча.