Многоугольники и многогранникиПолигоны

Многоугольник

- это замкнутая, плоская фигура, которая имеет какое-то количество сторон. Многоугольники могут иметь любое количество сторон и углов, но стороны не могут быть изогнуты. Какие из фигур ниже являются многоугольниками?

Мы даем разные названия многоугольникам, в зависимости от того, сколько у них сторон:

Треугольник
3 стороны

Четырехугольник
4 стороны

Пятиугольник
5 сторон

Шестиугольник
6 сторон

Семиугольник
7 сторон

Восьмиугольник
8 сторон

Углы в многоугольниках

Каждый многоугольник, который имеет n сторон также имеет n внутренних углов

. Мы уже знаем, что сумма внутренних углов в треугольнике всегда равна °, но что насчет других многоугольников?

° + ° + ° + ° = ???

° + ° + ° + ° + ° = ???

Похоже, что сумма внутренних углов в четырехугольнике всегда равна ° - ровно ???

суммы углов в треугольнике. Это не случайно: каждый четырехугольник можно разбить на два треугольника.

То же самое также работает для больших многоугольников. Мы можем разделить пятиугольник на треугольника, поэтому его внутренняя угловая сумма 3×180°= °. И мы можем разделить шестиугольник на треугольника, поэтому сумма его внутренняя углов равна 4×180°= °.

Многоугольник с

сторонами будет иметь сумму внутренних углов 180° × 5 = 900°. Получается, многоугольник с n сторонами может быть разбит на ??? треугольников. Следовательно,

Сумма внутренних углов в n- угольнике =n−2×180° ,

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Мы говорим, что многоугольник невыпуклый,

если у него есть угол, который «смотрит внутрь». Этот угол как будто «прогнулся» . Если такого угла нет, то такие многоугольники называются выпуклыми .

Есть два способа легко определить невыпуклые многоугольники: у них есть хотя бы один внутренний угол, который больше 180° . Или у него есть по крайней мере одна диагональ, лежащая вне многоугольника .

С другой стороны, в выпуклых многоугольниках все внутренние углы меньше °, а все диагонали лежат ???

многоугольника.

Какие из этих многоугольников невыпуклые?

Правильные многоугольники

Мы говорим, что многоугольник является правильным,

если все его стороны имеют одинаковую длину и все углы имеют одинаковый размер. Какие из этих фигур являются правильными многоугольниками?

Правильные многоугольники могут быть разных размеров, но все правильные многоугольники с одинаковым числом сторон ???

Мы уже знаем сумму всех внутренних углов

в многоугольниках. Для правильных многоугольников все эти углы имеют ??? , поэтому мы можем определить размер одного внутреннего угла:

угол = ???

???

= 180°×x−2x=180°−360°x ,

Если n=3 мы получаем углы равностороннего треугольника - мы уже знаем, что они равны °. В правильном многоугольнике с

сторонами, каждый внутренний угол равен 180° - 360°6 знак равно °.

Площадь правильных многоугольников

Здесь вы можете увидеть правильный многоугольник

сторонами. Каждая сторона имеет длину 1 м Попробуем рассчитать его площадь!

Во-первых, мы можем разбить многоугольник на конгруэнтных, ???

треугольников.

Мы уже знаем ???

этих треугольников, но нам также нужна ???, чтобы можно было рассчитать его площадь. В правильных многоугольниках эту высоту иногда называют апофема

Обратите внимание, что мы получили прямоугольный треугольник , образованный апофемой и половиной основания равнобедренного треугольника. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию!

Углы при основании равнобедренного треугольника (назовем их α) равны ???

размера внутреннего угла многоугольника многоугольника:

α=12180°−360°5=54

Чтобы найти апофему, мы можем использовать определение ???

tgα=противолежащий катетприлежащий катет=???

???

⇒апофема=12s×tgα=m

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника

12основания×высота=121m×=m2

Многоугольник состоит из равных равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет такую же площадь. Следовательно, общая площадь многоугольника

A=5×=m2