Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Преобразования и симметрияИзометрические преобразования

Время чтения: ~30 min

Изометрическое преобразование - это особый вид преобразования, который не изменяет размер и форму исходной фигуры. Представьте, что она сделана из твердого материала, такого как дерево или металл: мы можем переместить его, перевернуть и повернуть, но мы не можем растянуть или иным образом деформировать его.

Какие из этих преобразований являются изометрическими?

Для изометрических преобразований образ всегда оригиналом. Существует три различных типа изометрических преобразований:

Преобразование, которое просто перемещает фигуру, называется параллельным переносом.

Преобразование, которое отражает фигуру, называется осевой симметрией.

Преобразование, которое вращает фигуру, называется поворотом.

Мы также можем объединить несколько типов преобразований для создания более сложных, например, поворот с последующей осевой симметрией.

Но сначала давайте рассмотрим каждый из этих типов преобразований более подробно.

Параллельный перенос

Параллельный перенос - это преобразование, которое перемещает каждую точку фигуры на одинаковое расстояние в одном направлении.

На координатной плоскости мы можем распознать параллельный перенос по тому, насколько фигура перемещается вдоль оси x и оси y. Например, перенос на (3, 5) перемещает фигуру на 3 клетки вдоль оси x и на 5 вдоль оси y.

Перенос на (, )

Перенос на (, )

Перенос на (, )

Теперь ваша очередь - перенесите следующие фигуры:

Параллельный перенос на (3, 1)

Параллельный перенос на (–4, –2)

Параллельный перенос на (5, –1)

Осевая симметрия

Осевая симметрия - это преобразование, которое «отражает» фигуру относительно прямой. Эта прямая называется ось симметрии.

Нарисуйте ось симметрии в каждом из этих примеров:

Теперь ваша очередь - нарисуйте отражение каждой из этих фигур:

Обратите внимание, что если точка лежит на оси симметрии, то ее образ исходной точкой.

Во всех приведенных выше примерах ось симметрии была горизонтальной, вертикальной или под углом 45 °, что облегчало черчение образов. Если это не так, то построение требует немного большей работы:

Чтобы изобразить эту фигуру относительно оси симметрии, мы должны отразить каждую вершину по отдельности, а затем соединить их снова.

Давайте выберем одну из вершин и проведем линию через эту вершину, которая перпендикулярна оси симметрии.

Теперь мы можем измерить расстояние от вершины до оси симметрии и создать точку с таким же расстоянием с другой стороны. (Для этого мы можем использовать линейку или циркуль.)

Мы можем сделать то же самое и для всех других вершин нашей фигуры.

Теперь осталось просто соединить отраженные вершины в правильном порядке, и мы нашли образ!

Поворот

Поворот - это преобразование, которое «поворачивает» фигуру на определенный угол вокруг фиксированной точки. Эта точка называется центром поворота. Вращения могут быть по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Попробуйте повернуть, расположенные ниже, фигуры вокруг центра поворота, точки красного цвета:

Поворот на 90 ° по часовой стрелке.

Поворот на 180 °.

Поворот на 90 ° против часовой стрелки.

Сложнее рисовать повороты, которые не равны 90° или 180°. Давайте попробуем повернуть эту форму на ${10*ang}° вокруг центра поворота.

Как и для симметрии, мы должны поворачивать каждую вершину фигуры отдельно.

Мы начинаем с выбора одной из вершин. Соединяем ее с центром поворота.

Используя транспортир, мы можем отмерить угол ${ang*10}° относительно центра поворота. Давайте нарисуем вторую линию под этим углом.

Используя циркуль или линейку, мы можем найти точку на этой линии, которая находится на том же расстоянии от центра поворота, что и исходная точка.

Теперь мы должны повторить эти шаги для всех остальных вершин нашей фигуры.

И, наконец, как и раньше, мы можем соединить все вершины, чтобы получить повернутое изображение нашей первоначальной фигуры.

Преобразования являются важной концепцией во многих разделах математики, а не только в геометрии. Например, вы можете преобразовывать функции, сдвигая или поворачивая их графики. Вы также можете использовать преобразования, чтобы определить, являются ли две фигуры конгруэнтными.