Круги и ПиВведение

Каждая точка на окружности имеет одинаковое расстояние до его центра. Это означает, что их можно нарисовать с помощью циркуля :

Одним из важных свойств окружностей является то, что все окружности подобны . Вы можете доказать это, показав, как можно сопоставить все круги, используя простые преобразования и гомотетию :

Возможно, вы помните, что для аналогичных многоугольников соотношение между соответствующими сторонами всегда постоянное. Нечто подобное работает для окружностей: соотношение между окружностью и диаметром одинаково для всех окружностей . Это всегда 3.14159… - загадочное число, называемое Pi , которое часто пишется как греческая буква π. У Пи бесконечно много цифр после запятой, которые продолжаются бесконечно без какого-либо определенного шаблона:

Вот колесо диаметром 1. Когда вы «раскатываете» окружность, вы можете видеть, что ее длина точно π2·π3 :

Для окружности диаметром d длина окружности равна C=π×d. Тогда для круга с радиусом r длина окружности равна

C= 2πrπrπr2

Окружности абсолютно симметричны, и у них нет «слабых мест», таких как углы многоугольника. Это одна из причин, почему их можно найти повсюду в природе:

И есть много других примеров: от радуги до водной ряби. Вы можете придумать что-нибудь еще? Продолжить

Площадь круга

Но как нам рассчитать площадь круга? Давайте попробуем применить ту же технику, которую мы использовали для нахождения площади четырехугольников : мы разрезаем форму на несколько разных частей, а затем перегруппируем их в другую фигуру, площадь которой мы уже знаем (например, прямоугольник или треугольник).

Единственное отличие состоит в том, что, поскольку круги "изогнуты", мы должны использовать некоторые приближения:

Если бы мы могли использовать бесконечное количество колец или сегментов, приведенные выше приближения были бы идеальными - и они оба дают нам одинаковую формулу для площади круга:

S=πr2 , Продолжить

Расчет Пи

Как вы видели выше, π=3.1415926… не является простым целым числом, и его десятичные цифры продолжаются бесконечно, без повторяющегося шаблона. Числа с этим свойством называются иррациональными числами , и это означает, что π не может быть выражена как простая дробь ab ,

Это также означает, что мы никогда не сможем записать все цифры числа Пи - ведь их бесконечно много. Древнегреческие и китайские математики вычислили первые четыре десятичных знака числа Пи путем аппроксимации кругов с помощью правильных многоугольников. Обратите внимание, что по мере добавления новых сторон многоугольник начинает выглядеть все больше похожимне похожимменее похожим на круг:

Один из подходов к вычислению числа Pi состоит в использовании бесконечных последовательностей чисел. Вот один пример, который был обнаружен Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1676 году:

π=41−43+45−47+49−4+…

По мере того, как мы вычисляем все больше и больше членов этой последовательности, всегда следуя одной и той же схеме, результат будет становиться все ближе и ближе к Пи.

Если Pi нормальное, это означает, что вы можете придумать любую последовательность цифр, и она появится где-то в ее цифрах. Здесь вы можете найти первые миллион цифр числа Пи - они содержат ваш день рождения?

Мы могли бы даже конвертировать целую книгу, как Гарри Поттер, в очень длинную цепочку цифр, заменив буквы на числа (a = 01, b = 02 и т.д.). Если число «Пи» нормальное, то эта последовательность должна появится где-то в числе пи - но потребуются миллионы лет, чтобы вычислить достаточно цифр, чтобы найти ее.

Пи легко понять, и при этом оно имеет фундаментальное значение в науке и математике. Это может быть причиной того, почему Пи стал необычайно популярным в нашей культуре (по крайней мере, по сравнению с другими темами математики):

Так даже есть день Пи, который каждый год приходится на 14 марта, потому что π≈3.14 или на 22 июля, потому что π≈227 ,