Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Треугольники и тригонометрияСвойства треугольников

Время чтения: ~30 min

Начнем с простого: треугольник - это фигура с тремя сторонами (которые являются отрезками) и тремя вершинами (точками, в которых стороны соединяются). Он также имеет три внутренних угла, и мы уже знаем, что их сумма всегда равна °.

Мы можем классифицировать треугольники по размеру их углов:

Прямоугольный треугольник
имеет один прямой угол.

Тупоугольный треугольник
имеет один тупой угол.

Остроугольный треугольник
имеет острых угла.

Для удобства мы всегда обозначаем треугольники по определенным правилам. Вершины обозначаем заглавными буквами A, B и C, стороны строчными буквами a, b и c, а углы греческими буквами α, β и γ («Альфа», «бета» и «гамма»).

Сторона, которая лежит напротив вершины A, помечена как a, а угол, который находится рядом с A имеет маркировку α. Тот же шаблон работает для B / b / β и для C / c / γ.

Медиана

Здесь вы можете увидеть треугольник, а также точки, которые лежат посередине его трех сторон.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину и среднюю точку противоположной стороны. Нарисуйте три медианы этого треугольника. Что происходит, когда вы перемещаете вершины треугольника?

Кажется, медианы всегда . Эта точка называется центроидом.

Медианы всегда делят друг друга в соотношении 2: 1. Для каждой из трех медиан расстояние от вершины до центроида всегда расстояния от центроида до основания медианы.

Центроид также является «точкой равновесия» или «центром тяжести» треугольника. Нарисуйте треугольник на картоне, вырежьте его и нарисуйте три медианы. Если вы были точны, то вы сможете уравновесить треугольник на кончике карандаша или повесить его на нити, прикрепленной к центроиду:

Это работает, потому что вес треугольника равномерно распределен вокруг центроида. В физике эту точку часто называют центром масс.

Срединные перпендикуляры и окружность

Напомним, что срединный перпендикуляр отрезка это перпендикулярная прямая, проходящая через отрезка.

Нарисуйте срединный перпендикуляр для всех трех сторон этого треугольника. Чтобы нарисовать срединный перпендикуляр, просто щелкните и проведите мышкой от одного конца отрезка до другого.

Как и прежде, три срединных перпендикуляра встречаются в одной точке. И опять же, эта точка обладает особым свойством.

Любая точка на срединном перпендикуляре расположена на одинаковом расстоянии от концов отрезка, который она делит пополам. Например, любая точка на синем срединном перпендикуляре имеет одинаковое расстояние от точек A и C, а любая точка на красном срединном перпендикуляре имеет одинаковое расстояние от точек .

Точка пересечения лежит на всех трех срединных перпендикулярах, поэтому она должна располагаться на одинаковом расстоянии от всех трех треугольника.

Это означает, что мы можем нарисовать окружность вокруг него, которая идеально проходит через все вершины. Эта окружность называется описанной окружностью около треугольника.

Фактически это означает, что если вам даны три какие-либо точки, вы можете использовать срединные перпендикуляры, чтобы найти окружность, которая проходит через все три точки. (Только если точки не лежат на ).

Биссектриса и окружность

Вы, наверное, уже поняли логику: мы строим какой-то отрезок отрезок три раза для каждой стороны / угла треугольника, а затем выясняем, какими особенными свойствами обладает точка пересечения этих отрезков.

Напомним, что биссектриса угла делит угол ровно пополам. Постройте биссектрисы трех углов в этом треугольнике. Чтобы нарисовать биссектрису угла, вы должны нажать на три точки, которые образуют угол, который вы хотите поделить пополам.

Снова все три прямые пересеклись в одной точке. Вы, вероятно, ожидали этого, но важно заметить, что нет очевидной причины, по которой это должно происходить - треугольники - это просто особые формы!

Точки, лежащие на биссектрисе угла, находятся на одинаковом расстоянии от двух прямых, которые образуют угол. Например, любая точка на синей биссектрисе имеет одинаковое расстояние до стороны a и стороны c, также любая точка на красной биссектрисе имеет одинаковое расстояние до сторон .

Точка пересечения лежит сразу на всех трех биссектрисах. Следовательно, она должна быть на одинаковом расстоянии от всех трех треугольника.

Это означает, что мы можем построить окружность, которая лежит внутри треугольника и касается его трех сторон. Эта окружность называется вписанной в треугольник, а центр иногда называется инцентром.

Площадь и высота

Найти площадь прямоугольника легко: вы просто умножаете его ширину на высоту. Нахождение площади треугольника менее очевидно. Давайте начнем с того, что «впишем» треугольник в прямоугольник.

Ширина прямоугольника - это длина нижней стороны треугольника (которая называется основанием). Высота прямоугольника - это расстояние от основания до противоположной вершины.

Высота делит треугольник на две части - зеленую и оранжевую. Обратите внимание, что достроенные треугольники имеют ту же площадь, что и зеленый и оранжевый треугольники. Это означает, что площадь прямоугольника площади треугольника.

Мы можем легко определить площадь прямоугольника, тогда площадь треугольника должна быть вдвое меньше:

A=12× основание × высота

Чтобы вычислить площадь треугольника, вы можете принять любую из трех сторон за основание, а затем найти соответствующую высоту, которая является отрезком, который основанию.

Каждый треугольник имеет высоты.

Как и медианы, срединные перпендикуляры и биссектрисы, три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это называется ортоцентром треугольника. В остроугольных треугольниках ортоцентр треугольника.

В тупоугольных треугольниках, ортоцентр треугольника.

В прямоугольных треугольниках, ортоцентр треугольника. А две высоты становятся сторонами треугольника.