Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Треугольники и тригонометрияСвойства треугольников

Время чтения: ~30 min

Начнем с простого: треугольник - это замкнутая фигура с тремя сторонами (которые являются отрезками линии) и три вершины (точек, где встречаются стороны). Он также имеет три внутренних угла, и мы уже знаем, что их сумма всегда равна °.

Мы можем классифицировать треугольники по размеру их углов:

A прямоугольный треугольник
имеет один прямой угол.

тупой треугольник
имеет один тупой угол.

Острый треугольник
имеет острых угла.

Для удобства мы всегда помечаем треугольники одинаково. Вершины обозначены заглавными буквами A, B и C, стороны обозначены строчными буквами a, b и c, а углы обозначены греческими буквами α, β и γ ( «Альфа», «бета» и «гамма»).

Сторона >>>>, которая лежит напротив вершины A, помечена a, а угол находится рядом с A имеет маркировку α. Тот же шаблон работает для B / b / β и для C / c / γ.

Медиана

Здесь вы можете увидеть треугольник, а также средние точки его трех сторон.

медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину и среднюю точку противоположной стороны. Нарисуйте три медианы этого треугольника. Что происходит, когда вы перемещаете вершины треугольника?

Кажется, медианы всегда . Эта точка называется центроидом.

Медианы всегда делят друг друга в соотношении 2: 1. Для каждой из трех медиан расстояние от вершины до центроида всегда равно расстоянию от центроида до средней точки.

Центроид также является «точкой равновесия» треугольника. Нарисуйте треугольник на картоне, вырежьте его и найдите три медианы. Если вы были точны, теперь вы можете уравновесить треугольник на кончике карандаша или повесить его ровно на уровне нити, прикрепленной к центроиду:

Это работает, потому что вес треугольника равномерно распределен вокруг центроида. В физике эту точку часто называют центром масс.

перпендикулярные биссектрисы и окружность

Напомним, что перпендикулярная биссектриса линии является перпендикулярной линией, проходящей через ее .

Нарисуйте перпендикулярную биссектрису всех трех сторон этого треугольника. Чтобы нарисовать перпендикулярную биссектрису стороны треугольника, просто щелкните и перетащите от одной из ее конечных точек к другой.

Как и прежде, три перпендикулярных биссектрисы встречаются в одной точке. И опять же, эта точка обладает особым свойством.

Любая точка на перпендикулярном биссектрисе имеет одинаковое расстояние от двух конечных точек линий, которые она делит пополам. Например, любая точка на синем биссектрисе имеет одинаковое расстояние от точек A и C, а любая точка на красном биссектрисе имеет одинаковое расстояние от точек .

Точка пересечения <<<< лежит на всех трех перпендикулярных биссектрисе, поэтому она должна иметь одинаковое расстояние от всех трех треугольника.

Это означает, что мы можем нарисовать круг вокруг него, который идеально касается всех вершин. Этот круг называется окружностью треугольника, а центр называется окружностью.

Фактически это означает, что если вам даны три какие-либо точки, вы можете использовать круговой центр, чтобы найти круг, который проходит через все три из них. (Если точки не являются , в этом случае они все лежат на прямой линии.)

Угловые делители и окружности

Вы, наверное, уже поняли это: мы выбираем определенную конструкцию, делаем это три раза для всех сторон / углов треугольников, а затем выясняем, что особенного в их пересечении.

Напомним, что биссектриса угла <<<< делит угол точно посередине. Нарисуйте угол биссектрисы трех углов в этом треугольнике. Чтобы нарисовать биссектрису угла, вы должны нажать на три точки, которые образуют угол, который вы хотите разделить пополам.

Еще раз, все три линии пересекаются в одной точке. Вы, вероятно, ожидали чего-то подобного, но важно заметить, что нет очевидной причины, по которой это должно происходить - треугольники - это просто особые формы!

Точки, лежащие на биссектрисе угла, имеют одинаковое расстояние от двух линий, образующих угол. Например, любая точка на синем биссектрисе имеет одинаковое расстояние от стороны a и стороны c, а также от любой точки на красном биссектрисе имеет одинаковое расстояние от сторон .

точка пересечения лежит на всех трех биссектрисе. Следовательно, он должен иметь одинаковое расстояние от всех трех треугольника.

Это означает, что мы можем нарисовать круг вокруг него, который лежит внутри треугольника и просто касается его трех сторон. Этот круг называется вкраплением треугольника, а центр называется стимулятором.

Площадь и высота

Найти область прямоугольника <<<< легко: вы просто умножаете его ширину на высоту. Нахождение площади треугольника немного менее очевидно. Давайте начнем с «захвата» треугольника внутри прямоугольника.

Ширина прямоугольника - это длина нижней стороны <<<< треугольника (который называется основанием). Высота прямоугольника - это перпендикулярное расстояние от основания до противоположной вершины.

Высота делит треугольник на две части. Обратите внимание, что два промежутка в прямоугольнике точно так же велики, как две части треугольника. Это означает, что прямоугольник размера треугольника.

Мы можем легко определить площадь прямоугольника, поэтому площадь треугольника должна быть вдвое меньше: {.text-center.reveal(data-when="blank-0")} A=12× base × высота

Чтобы вычислить площадь треугольника, вы можете выбрать любую из трех сторон как основание, а затем найти соответствующий { 370} высота__, которая является линией, которая к основанию и проходит через противоположную вершину.

В треугольниках эти высоты часто называют высотами. Каждый треугольник имеет высоты.

Как и медианы, перпендикулярные биссектрисы и биссектрисы, три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это называется ортоцентром треугольника. В острых треугольниках ортоцентр треугольника.

В тупых треугольниках, ортоцентр треугольника.

В прямоугольных треугольниках, ортоцентр треугольника. Две из высот на самом деле просто стороны треугольника.