Последовательности и паттерныЧисла Фибоначчи

Представьте, что вы получили пару маленьких кроликов, одного самца и одну самку. Это особенные кролики, они никогда не умирают, а самка рожает новую пару кроликов ровно раз в месяц (всегда другую пару мужского и женского пола).

1

1

2

3

5

8

В первый месяц кролики слишком маленькие и не могут размножаться.

После первого месяца кролики подросли и могут начать размножаться…

… и после месяца у них рождается первая пара детей. Теперь у вас две пары кроликов.

На следующий месяц у вашей пары кроликов рождается еще пара крольчат. Тем временем первая пара крольчат растет. Теперь у вас три пары кроликов.

На пятый месяц у начальной пары кроликов рождается новая пара крольчат. В это же время из первая пара крольчат уже достаточно выросла, чтобы родить пару "правнуков". Теперь у вас пять пар кроликов.

На шестой месяц у вас есть три пары кроликов, у которых родятся крольчата: начальная пара, две пары их детенышей.

В следующем месяце у вас будет 13 пар кроликов: 8 из предыдущего месяца плюс 5 новых пар детенышей. Можете ли вы обнаружить закономерность в этой последовательности? Продолжить

Количество кроликов в конкретном месяце равно сумме двух предыдущих чиселудвоенному количеству прошлого месяца . Другими словами, вы должны сложить два предыдущих члена последовательности, чтобы получить следующий. Последовательность начинается с двух единиц, и рекурсивная формула будет такая:

xn = xn−1 + xn−2

Можете ли вы рассчитать количество кроликов через несколько месяцев?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

Таким образом, через 12 месяцев у вас будет 144 пары кроликов!

Эта последовательность чисел называется последовательностью Фибоначчи , названной в честь итальянского математика Леонардо Фибоначчи .

На одной из страниц своей книги он также исследовал схемы размножения кроликов - вот почему числа Фибоначчи были названы в его честь.

Конечно, числа Фибоначчи - это не то, как кролики на самом деле живут в реальной жизни. Кролики не рождают по два детеныша мужского и женского пола каждый месяц, и мы не учитывали, что кролики в конечном итоге умирают.

Но оказывается, что есть много других мест в природе, где числа Фибоначчи действительно появляются: например, спирали в растениях. Можете ли вы посчитать, количество спиралей в каждом направлении?

В обоих случаях количество спиралей является последовательными числами Фибоначчи. То же самое верно и для многих других растений: в следующий раз, когда вы выйдете на улицу, посчитайте количество лепестков в цветке или количество листьев на стебле. Очень часто вы будет обнаруживать числа Фибоначчи!

Конечно, это не просто совпадение. Существует важная причина, почему природе нравится последовательность Фибоначчи, вы узнаете о ней позже.

Золотое сечение

Как треугольные и квадратные числа, а также другие последовательности, которые мы видели ранее, последовательность Фибоначчи можно визуализировать с помощью геометрического шаблона:

На каждом шаге квадраты образуют больший прямоугольник. Его ширина и высота всегда являются двумя соседними числами Фибоначчи. Отношение сторон прямоугольника - это отношение его ширины и высоты:

Обратите внимание, что, когда мы добавляем все больше и больше квадратов, соотношение сторон кажется все ближе и ближе к определенному числу около 1,6. Это число называется золотым сечением и обычно представлено греческой буквой φ ( «Фи»). Его точное значение

1+52=1.61803398875…

Многие люди считают, что золотое сечение особенно эстетично. Вот почему им часто пользуются художники и архитекторы - как в этих двух примерах:

Говорят, что греческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при проектировании Парфенона в Афинах. Первая буква его имени, φ является символом, который мы сейчас используем для золотого сечения.

«Тайная Вечеря» испанского художника Сальвадора Дали является одной из многих картин с золотым сечением. На заднем плане вы также можете увидеть большой додекаэдр .

Мы можем получить золотое сечение разделивсложивумножив два соседних числа Фибоначчи.

Однако оказывается, что точное значение φ не может быть записано как простая дробь: это иррациональное число , так же, как π и 2 и некоторые другие числа, которые вы видели раньше.

Спираль Фибоначчи

Для цветов важно выбрать подходящий угол: листья или семена должны быть примерно одинаково отдалены друг от друга, чтобы они получали наибольшее количество солнечного света и питательных веществ. На диаграмме ниже вы можете посмотреть, как может выглядеть подсолнух под разными углами между его семенами:

Fibonachos

До сих пор мы использовали только рекурсивное уравнение для чисел Фибоначчи. Существует также есть явное уравнение, но его гораздо сложнее найти:

Fn=151+52n−1−52n

Мы также можем попытаться выбрать разные начальные точки для чисел Фибоначчи. Например, если мы начнем с 2, 1, ..., а не с 1, 1, ..., мы получим последовательность, называемую числами Лукаса .

Получается, что какие бы два стартовых числа вы ни выбрали, результирующие последовательности имеют много общих свойств. Например, отношение соседних членов всегда будет сходиться к золотому сечению.

${a} , ${b} , ${a+b} , ${a+2×b} , ${2×a+3×b} , ${3×a+5×b} , ${5×a+8×b} , ${8×a+13×b} …

Есть много других головоломок, моделей и применений, связанных с числами Фибоначчи. Вот несколько примеров, которые вы можете попробовать сами: