Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Последовательности и паттерныЧисла Фибоначчи

Время чтения: ~40 min

Представьте, что вы получили пару маленьких кроликов, одного самца и одной самки. Это особенные кролики, потому что они никогда не умирают, а самка рожает новую пару кроликов ровно раз в месяц (всегда другую пару мужского и женского пола).

1
1
2
3
5
8
In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.
After one month, the rabbits are grown up and can start mating…
… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.
In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.
In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.
In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

В следующем месяце у вас будет 13 пар кроликов: 8 из предыдущего месяца плюс 5 новых наборов младенцев. Можете ли вы обнаружить шаблон в этой последовательности?

Количество кроликов в конкретном месяце является . Другими словами, вы должны добавить _два предыдущих термина в последовательность, чтобы получить следующий. Последовательность начинается с двух единиц, и рекурсивная формула_

xn = xn1 + xn2

Можете ли вы рассчитать количество кроликов через несколько месяцев?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

Таким образом, через 12 месяцев у вас будет 144 пары кроликов!

Эта последовательность чисел называется последовательностью Фибоначчи , названной в честь итальянского математика Леонардо Фибоначчи .

Когда Фибоначчи родился в 1175 году, большинство людей в Европе все еще использовали римскую систему счисления для чисел (например, XIV или MCMLIV). Отец Фибоначчи был торговцем, и они вместе отправились в Северную Африку, а также на Ближний Восток. Именно там Фибоначчи впервые выучил арабскую систему счисления .

Вернувшись в Италию, Фибоначчи написал книгу под названием « Liber Abaci» (на латыни «Книга расчетов»), где он впервые ввел новые арабские цифры для европейских торговцев. Они имели немедленный успех - и мы до сих пор используем их сегодня.

Portrait of Leonardo Fibonacci

На одной из страниц своей книги он также исследовал схемы размножения кроликов - вот почему числа Фибоначчи были названы в его честь.

Pages from Fibonacci’s Liber Abaci

Конечно, числа Фибоначчи - это не то, как кролики на самом деле живут в реальной жизни. Кролики не имеют точно одного потомства мужского и женского пола каждый месяц, и мы не учитывали, что кролики в конечном итоге умирали.

Но оказывается, что есть много других мест в природе, где числа Фибоначчи действительно появляются: например, спирали в растениях. Можете ли вы посчитать, сколько спиралей в каждом направлении?

Original
Clockwise
Countercw.

Эта шишка имеет спиралей по часовой стрелке и спиралей против часовой стрелки.

Original
Clockwise
Countercw.

Этот подсолнух имеет 34 спирали по часовой стрелке и 55 спиралей против часовой стрелки.

В обоих случаях числа спиралей являются последовательными числами Фибоначчи. То же самое верно и для многих других растений: в следующий раз, когда вы выйдете на улицу, посчитайте количество лепестков в цветке или количество листьев на стебле. Очень часто вы обнаружите, что это числа Фибоначчи!

Конечно, это не просто совпадение. Существует важная причина, почему природе нравится последовательность Фибоначчи, о которой вы узнаете позже.

Male
Female

Числа Фибоначчи также появляются в популяциях пчел.

В каждой пчелиной колонии есть одна королева, которая откладывает много яиц. Если яйцеклетка оплодотворена самкой пчелы, она высиживается в самку пчелы. Если это не оплодотворено, это выводится в мужскую пчелу (названный беспилотником).

Это означает, что у пчел женского пола есть , в то время как у самцов пчелы есть только

Если мы нарисуем дерево предков пчелы, число родителей, бабушек и дедушек, прабабушек и прародителей всегда будет числом Фибоначчи!

Иногда молодых самок пчел кормят специальной пищей, называемой «маточное молочко». В этом случае они превращаются в королев и улетят, чтобы начать новый улей.

Золотое сечение

Как и числа треугольников и квадратов , а также другие последовательности, которые мы видели ранее, последовательность Фибоначчи можно визуализировать с помощью геометрического шаблона:

1 1 2 3 5 8 13 21
We start with two small squares of size 1.
Next, we add a new square of size 2, to form a larger rectangle.
Next, we add a square of size 3, to form an even larger rectangle.
The next square has size 5. Can you see that we’re recreating the Fibonacci numbers?
If we continue adding squares, they will have size 8, 13, 21, and so on.
You might have noticed that, as the rectangles get larger, they seem to start “spiraling” outwards. We can even visualise this by drawing a perfect spiral that connects the corners of the squares.

На каждом шаге квадраты образуют больший прямоугольник. Его ширина и высота всегда являются двумя последовательными числами Фибоначчи. Соотношение сторон прямоугольника - это соотношение его ширины и высоты:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1,5

golden-3

53 = 1.666 ...

golden-4

85 = 1,6

golden-5

= 1,625

golden-6

= 1,62…

Обратите внимание, что, когда мы добавляем все больше и больше квадратов, соотношение сторон кажется все ближе и ближе к определенному числу около 1,6. Это число называется золотым сечением и обычно представлено греческой буквой φ ( «Фи»). Его точное значение

1+52=1.61803398875

Многие люди считают, что золотое сечение особенно эстетично. Вот почему это часто используется художниками и архитекторами - как в этих двух примерах:

Говорят, что греческий скульптор Фидий использовал золотое сечение при проектировании Парфенона в Афинах. Первая буква его имени, φ является символом, который мы сейчас используем для золотого сечения.

«Таинство Тайной Вечери » испанского художника Сальвадора Дали является одной из многих картин в золотом сечении. На заднем плане вы также можете увидеть большой додекаэдр .

Мы можем приблизить золотое сечение, два последовательных числа Фибоначчи.

Однако оказывается, что точное значение φ не может быть записана как простая дробь: это иррациональное число , так же, как π и 2 и некоторые другие цифры, которые вы видели раньше.

Спирали Фибоначчи

Золотое сечение объясняет, почему числа Фибоначчи появляются в природе, как подсолнечник и сосновая шишка, которые вы видели в начале этого раздела.

Оба эти растения растут наружу от своего центра (часть растения, называемая меристемой ). Когда добавляются новые семена, листья или лепестки, они выталкивают уже существующие наружу.

Переместите ползунок вправо, чтобы увидеть, как растение растет. Обратите внимание, как каждый лист добавляется с другим оборотом, чем предыдущий. Угол между двумя последовательными листьями всегда одинаков.

Для цветов важно выбрать подходящий угол: листья или семена должны быть примерно одинаково разнесены, чтобы они получали наибольшее количество солнечного света и питательных веществ. На диаграмме ниже вы можете посмотреть, как может выглядеть подсолнух под разными углами между его семенами:

Если угол , все семена будут расти в один длинный ряд от центра.
Если угол на полный оборот (180°) семена будут чередоваться между двумя отдельными «рукавами», которые удаляются от центра.
Если вращение составляет другую дробную пропорцию 360°, например или или тогда число «рук» будет таким же, как у этой фракции.
К сожалению, «руки» плохие, потому что они означают, что семена распределяются неравномерно: все пространство между руками тратится впустую. Но если рациональные числа не сработают, давайте попробуем иррациональные числа !
Одним из примеров иррационального числа является π , Но если угол между семенами 360°, мы все еще, кажется, получаем оружие: 22 из них. Это потому, что фракция 227=3.1429 это довольно хорошее приближение для π , Что нам действительно нужно, так это иррациональное число, которое не может быть близко аппроксимировано простой дробью.
Оказывается, что золотое сечение - это просто «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел. Если угол между семенами на 360° они кажутся почти идеально разнесенными. И это именно тот угол, который используют растения по всему миру.

Вы можете помнить сверху, что отношения последовательных чисел Фибоначчи становятся все ближе и ближе к золотому сечению - и поэтому, если вы посчитаете количество спиралей в растении, вы часто найдете число Фибоначчи.

Важно помнить, что природа не знает о числах Фибоначчи. Природа также не может решить уравнения для расчета золотого сечения, но в течение миллионов лет у растений было достаточно времени, чтобы опробовать разные углы и найти лучший.

Растения и животные всегда хотят расти наиболее эффективным способом, и поэтому природа полна регулярных математических моделей.

Fibonachos

До сих пор мы использовали только рекурсивное уравнение для чисел Фибоначчи. Здесь также есть явное уравнение, но его гораздо сложнее найти:

Fn=151+52n152n

Мы также можем попытаться выбрать разные начальные точки для чисел Фибоначчи. Например, если мы начнем с 2, 1, ..., а не с 1, 1, ..., мы получим последовательность, называемую числами Лукаса .

Получается, что какие бы два стартовых номера вы ни выбрали, результирующие последовательности имеют много общих свойств. Например, отношения последовательных членов всегда будут сходиться к золотому сечению.

${a} , ${b} , ${a+b} , ${a+2×b} , ${2×a+3×b} , ${3×a+5×b} , ${5×a+8×b} , ${8×a+13×b}

Есть много других головоломок, моделей и приложений, связанных с числами Фибоначчи. Вот несколько примеров, которые вы можете попробовать сами:

Решение проблем

1. Делимость Фибоначчи

(а) Какие числа Фибоначчи четные? Есть ли шаблон, где они расположены вдоль последовательности? Вы можете объяснить, почему?

(б) Какие числа Фибоначчи делятся на 3 (или делятся на 4)? Что ты заметил?


2. Суммы Фибоначчи

Что произойдет, если вы сложите три любых последовательных числа Фибоначчи? Вы можете объяснить, почему?


3. Лестницы Фибоначчи

Поднимаясь по лестнице, я могу либо сделать один шаг, либо перепрыгнуть через два шага за раз. Это означает, что есть много разных возможностей для того, чтобы я мог подняться по лестнице. Например, если есть 5 шагов, у меня есть 8 различных вариантов:

Сколько существует вариантов для лестницы с 6, 7 или 8 ступенями? Можете ли вы обнаружить шаблон? И как это связано с числами Фибоначчи?

© FoxTrot, by Bill Amend