Последовательности и паттерныФигурные числа

Название "геометрических прогрессия" довольно запутанно, потому что прогрессия не имеет ничего общего с геометрией. На самом деле, название было придумано сотни лет назад, когда математики смотрели на умножение и возведение в квадрат как на работу с фигурами.

Тем не менее, есть много других последовательностей, которые основаны на определенных геометрических формах - некоторые из которых вы уже видели во введении. Эти последовательности часто называют фигурными числами , и в этом разделе мы подробнее рассмотрим некоторые из них.

Треугольные числа

Значения членов последовательности генерируются путем создания треугольников с постепенно увеличивающимся размером:

Вы уже видели рекурсивную формулу для номеров треугольников: xn= xn−1+nn2−12×xn−1−1 ,

Не случайно в боулинге всегда 10 кеглей или 15 шаров в бильярде: это два треугольных числа!

К сожалению, рекурсивная формула не очень полезна, если мы хотим найти 100-й или 5000-й член последовательности без предварительного вычисления всех предыдущих. Но, как и в случае с арифметическими и геометрическими прогрессиями, мы можем попытаться найти явную формулу.

СКОРО: Анимированное доказательство для формулы треугольных чисел

Треугольные числа, кажется, появляются везде в математике, и вы увидите их снова на протяжении всего этого курса. Один особенно интересный факт заключается в том, что любое целое число можно записать как сумму не более трех треугольных чисел:

Тот факт, что это работает для всех целых чисел, был впервые доказан в 1796 году немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом - в возрасте 19 лет!

Квадратные и многоугольные числа

Другой последовательностью, основанной на геометрических фигурах, являются квадратные числа :

1, 4*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+3*, 9*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+5*, 16*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+7*, +9, +11, +13, +15, …

Вы можете вычислить числа в этой последовательности, возведя в квадрат каждое целое число (12, 22, 32, …), Но оказывается, что есть другая закономерность: разность двух соседних квадратных чисел всегда является нечетным числомтреугольным числомдробным числом в порядке возрастания!

Кроме того, каждое квадратное число также является суммой двух соседних треугольных чисел . Например, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2} , Попробуйте увидеть, как мы можем разбить любой квадрат по диагонали на два треугольника?

Тетраэдрические и кубические числа

Конечно, мы можем не ограничиваться двумерными формами. Мы могли бы складывать сферы в маленькие пирамиды, как если бы вы складывали апельсины в супермаркете:

Математики часто называют эти пирамиды тетраэдрами , а полученную последовательность тетраэдрическими числами .

СКОРО: Больше о тетраэдрических числах, кубических числах и 12 днях Рождества.