Глоссарий

Арабские цифры
Арифметическая последовательность
Додекаэдр
фактор
Числа Фибоначчи
Firgurate Numbers
формула
фрактальный
Геометрическая последовательность
Золотое сечение
Последовательность града
Целые
Иррациональные числа
Совершенные числа
Пи
многоугольник
Возведение
Простое число
доказательство
Рациональное число
Жесткая трансформация
Римские цифры
Последовательность
конвергенция
дивергенция
Явная формула
Формула рекурсии
Условия последовательности
Сито Эратосфена
Квадратные числа
Тетраэдрические числа
Тетраэдр
Треугольные числа
Twin Primes
переменная

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Последовательности и паттерныФигурные числа

Время чтения: ~15 min

Название "геометрических прогрессия"

довольно запутанно, потому что прогрессия не имеет ничего общего с геометрией. На самом деле, название было придумано сотни лет назад, когда математики смотрели на умножение и возведение в квадрат как на работу с фигурами.

Тем не менее, есть много других последовательностей, которые основаны на определенных геометрических формах - некоторые из которых вы уже видели во введении. Эти последовательности часто называют фигурными числами

, и в этом разделе мы подробнее рассмотрим некоторые из них.

Треугольные числа

Значения членов последовательности генерируются путем создания треугольников с постепенно увеличивающимся размером:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Вы уже видели рекурсивную формулу для номеров треугольников: xn= ???

,

Не случайно в боулинге всегда 10 кеглей или 15 шаров в бильярде: это два треугольных числа!

К сожалению, рекурсивная формула не очень полезна, если мы хотим найти 100-й или 5000-й член последовательности без предварительного вычисления всех предыдущих. Но, как и в случае с арифметическими и геометрическими прогрессиями, мы можем попытаться найти явную формулу.

СКОРО: Анимированное доказательство для формулы треугольных чисел

Треугольные числа, кажется, появляются везде в математике, и вы увидите их снова на протяжении всего этого курса. Один особенно интересный факт заключается в том, что любое целое число можно записать как сумму не более трех треугольных чисел:

42

=

+

+

Тот факт, что это работает для всех целых чисел, был впервые доказан в 1796 году немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом

- в возрасте 19 лет!

Решение задач

Какова сумма первых 100 натуральных чисел

? Другими словами, чему равно

1+2+3+4+5++97+98+99+100 ?

Вместо того, чтобы сложить все вручную, можете ли вы использовать треугольные числа

, чтобы упростить вычисления? Как насчет суммы первых 1000 натуральных чисел?

Квадратные и многоугольные числа

Другой последовательностью, основанной на геометрических фигурах, являются квадратные числа :

1, 4*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+3*, 9*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+5*, 16*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+7*, +9, +11, +13, +15, …

Вы можете вычислить числа в этой последовательности, возведя в квадрат каждое целое число (12, 22, 32, …), Но оказывается, что есть другая закономерность: разность двух соседних квадратных чисел всегда является ???

в порядке возрастания!

Причина этого паттерна становится очевидной, если мы нарисуем квадрат. Каждый шаг добавляет одну строку и один столбец. Размер этих «углов» начинается с 1 и увеличивается на 2 на каждом шаге - тем самым образуя последовательность нечетных чисел.

Это также означает, что значение n- го квадрата является просто суммой первых n нечетных чисел! Например, сумма первых 6 нечетных чисел

1+3+5+7+9+11=

1 3 5 7 9 11 13

Кроме того, каждое квадратное число также является суммой двух соседних треугольных чисел

. Например,
16
= 10 + 6 , Попробуйте увидеть, как мы можем разбить любой квадрат по диагонали на два треугольника?

x=

После чисел треугольника и квадрата мы можем продолжить работать с другими многоугольниками

. Получившиеся числовые последовательности называются многоугольными числами .

Например, если мы используем многоугольники с

5
сторонами, мы получаем последовательность

Сможете ли вы найти рекурсивные и явные формулы для n- го многоугольного числа с k сторонами? А вы заметили какие-нибудь другие интересные закономерности для многоугольных чисел?

Тетраэдрические и кубические числа

Конечно, мы можем не ограничиваться двумерными формами. Мы могли бы складывать сферы в маленькие пирамиды, как если бы вы складывали апельсины в супермаркете:

1

20

35

Математики часто называют эти пирамиды тетраэдрами

, а полученную последовательность тетраэдрическими числами .

СКОРО: Больше о тетраэдрических числах, кубических числах и 12 днях Рождества.

Archie