English
عربى
中文
Deutsch
Español
Hrvatski
Italiano
Português
Русский
SvenskaПоследовательности и паттерныФигурные числа
Название Геометрическая последовательность(иногда называемая геометрической прогрессией) - это последовательность чисел, в которой соотношение r между последовательными членами всегда постоянное.
Тем не менее, есть много других последовательностей, которые основаны на определенных геометрических формах - некоторые из которых вы уже видели во введении. Эти последовательности часто называют Фигурные числа - это числа, которые могут быть представлены с помощью геометрических фигур. Примеры включают квадратные, треугольные и тетраэдрические числа.
Треугольные числа
Значения членов последовательности генерируются путем создания треугольников с постепенно увеличивающимся размером:
1
3
6
10
15
21
Вы уже видели рекурсивную формулу для номеров треугольников:
Не случайно в боулинге всегда 10 кеглей или 15 шаров в бильярде: это два треугольных числа!
К сожалению, рекурсивная формула не очень полезна, если мы хотим найти 100-й или 5000-й член последовательности без предварительного вычисления всех предыдущих. Но, как и в случае с арифметическими и геометрическими прогрессиями, мы можем попытаться найти явную формулу.
СКОРО: Анимированное доказательство для формулы треугольных чисел
Треугольные числа, кажется, появляются везде в математике, и вы увидите их снова на протяжении всего этого курса. Один особенно интересный факт заключается в том, что любое целое число можно записать как сумму не более трех треугольных чисел:
=
+
+
Тот факт, что это работает для всех целых чисел, был впервые доказан в 1796 году немецким математиком Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855) был, вероятно, величайшим математиком в истории. Он сделал новаторские открытия почти во всех областях математики, от алгебры и теории чисел до статистики, исчисления, геометрии, геологии и астрономии. Согласно легенде, он исправил ошибку в учете своего отца в возрасте 3 лет и нашел способ быстро сложить все целые числа от 1 до 100 в возрасте 8 лет. Он сделал свои первые важные открытия, будучи еще подростком, а затем обучал многих других известных математиков в качестве профессора.
Решение задач
Какова сумма первых 100 натуральных Целые числаявляются положительными и отрицательными целыми числами, включая ноль:…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…. Они часто обозначаются с помощью символа
Вместо того, чтобы сложить все вручную, можете ли вы использовать номер треугольника - это целое число, которое может быть представлено в виде равностороннего треугольника точек. Формула для n -го номера треугольника: 
Квадратные и многоугольные числа
Другой последовательностью, основанной на геометрических фигурах, являются квадратные числа :
1, 4*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+3*, 9*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+5*, 16*{span.arrow.reveal(when="blank-4")}+7*,
Вы можете вычислить числа в этой последовательности, возведя в квадрат каждое целое число (
Причина этого паттерна становится очевидной, если мы нарисуем квадрат. Каждый шаг добавляет одну строку и один столбец. Размер этих «углов» начинается с 1 и увеличивается на 2 на каждом шаге - тем самым образуя последовательность нечетных чисел.
Это также означает, что значение n- го квадрата является просто суммой первых n нечетных чисел! Например, сумма первых 6 нечетных чисел
Кроме того, каждое квадратное число также является суммой двух соседних номер треугольника - это целое число, которое может быть представлено в виде равностороннего треугольника точек. Формула для n -го номера треугольника:
После чисел треугольника и квадрата мы можем продолжить работать с другими многоугольник является геометрической формой, состоящей из отрезков прямых линий. Полигоны не могут содержать никаких изогнутых сторон или отверстий. Например, квадрат - это многоугольник, а круг - нет.
Например, если мы используем многоугольники с
Сможете ли вы найти рекурсивные и явные формулы для n- го многоугольного числа с k сторонами? А вы заметили какие-нибудь другие интересные закономерности для многоугольных чисел?
Тетраэдрические и кубические числа
Конечно, мы можем не ограничиваться двумерными формами. Мы могли бы складывать сферы в маленькие пирамиды, как если бы вы складывали апельсины в супермаркете:
1
20
35
Математики часто называют эти пирамиды Тетраэдр является платоновым телом и состоит из четырех граней, которые являются равносторонними треугольниками. Он имеет четыре вершины и шесть ребер. тетраэдрическое число - это число, которое создается путем объединения нескольких сфер в тетраэдр. Первые тетраэдрические числа 1, 4, 10, 20, 35,…
СКОРО: Больше о тетраэдрических числах, кубических числах и 12 днях Рождества.