Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Последовательности и паттерныФигурные числа

Время чтения: ~20 min

Название "геометрических прогрессия" довольно запутанно, потому что прогрессия не имеет ничего общего с геометрией. На самом деле, название было придумано сотни лет назад, когда математики смотрели на умножение и возведение в квадрат как на работу с фигурами.

Тем не менее, есть много других последовательностей, которые основаны на определенных геометрических формах - некоторые из которых вы уже видели во введении. Эти последовательности часто называют фигурными числами , и в этом разделе мы подробнее рассмотрим некоторые из них.

Треугольные числа

Значения членов последовательности генерируются путем создания треугольников с постепенно увеличивающимся размером:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Вы уже видели рекурсивную формулу для номеров треугольников: xn= ,

Не случайно в боулинге всегда 10 кеглей или 15 шаров в бильярде: это два треугольных числа!

К сожалению, рекурсивная формула не очень полезна, если мы хотим найти 100-й или 5000-й член последовательности без предварительного вычисления всех предыдущих. Но, как и в случае с арифметическими и геометрическими прогрессиями, мы можем попытаться найти явную формулу.

СКОРО: Анимированное доказательство для формулы треугольных чисел

Треугольные числа, кажется, появляются везде в математике, и вы увидите их снова на протяжении всего этого курса. Один особенно интересный факт заключается в том, что любое целое число можно записать как сумму не более трех треугольных чисел:

${n}

=

+

+

Тот факт, что это работает для всех целых чисел, был впервые доказан в 1796 году немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом - в возрасте 19 лет!

Решение задач

Какова сумма первых 100 натуральных чисел ? Другими словами, чему равно

1+2+3+4+5++97+98+99+100 ?

Вместо того, чтобы сложить все вручную, можете ли вы использовать треугольные числа, чтобы упростить вычисления? Как насчет суммы первых 1000 натуральных чисел?

Квадратные и многоугольные числа

Другой последовательностью, основанной на геометрических фигурах, являются квадратные числа :

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

Вы можете вычислить числа в этой последовательности, возведя в квадрат каждое целое число (12, 22, 32, …), Но оказывается, что есть другая закономерность: разность двух соседних квадратных чисел всегда является в порядке возрастания!

Причина этого паттерна становится очевидной, если мы нарисуем квадрат. Каждый шаг добавляет одну строку и один столбец. Размер этих «углов» начинается с 1 и увеличивается на 2 на каждом шаге - тем самым образуя последовательность нечетных чисел.

Это также означает, что значение n- го квадрата является просто суммой первых n нечетных чисел! Например, сумма первых 6 нечетных чисел

1+3+5+7+9+11=

1 3 5 7 9 11 13

Кроме того, каждое квадратное число также является суммой двух соседних треугольных чисел . Например, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2} , Попробуйте увидеть, как мы можем разбить любой квадрат по диагонали на два треугольника?

x=

После чисел треугольника и квадрата мы можем продолжить работать с другими многоугольниками . Получившиеся числовые последовательности называются многоугольными числами .

Например, если мы используем многоугольники с ${k} сторонами, мы получаем последовательность ${polygonName(k)}

Сможете ли вы найти рекурсивные и явные формулы для n- го многоугольного числа с k сторонами? А вы заметили какие-нибудь другие интересные закономерности для многоугольных чисел?

Тетраэдрические и кубические числа

Конечно, мы можем не ограничиваться двумерными формами. Мы могли бы складывать сферы в маленькие пирамиды, как если бы вы складывали апельсины в супермаркете:

1

20

35

Математики часто называют эти пирамиды тетраэдрами , а полученную последовательность тетраэдрическими числами .

СКОРО: Больше о тетраэдрических числах, кубических числах и 12 днях Рождества.