Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Последовательности и паттерныТреугольник Паскаля

Время чтения: ~25 min

Ниже вы можете увидеть числовую пирамиду, созданную с использованием простого шаблона: она начинается с единственной «1» в верхней части, а каждая следующая ячейка является суммой двух ячеек, расположенных непосредственно выше. Наведите курсор на некоторые ячейки, чтобы увидеть, как они рассчитываются, а затем заполните недостающие:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
495
792
924
792
495
66
12
1

На этой диаграмме показаны только первые двенадцать строк, но мы могли бы продолжать вечно, добавляя новые строки внизу. Обратите внимание, что треугольник , который может помочь вам рассчитать некоторые клетки.

Треугольник называется треугольником Паскаля и назван в честь французского математика Блеза Паскаля . Он был одним из первых европейских математиков, исследовавших его закономерности и свойства, но он был известен другим цивилизациям много веков назад:

В 450 г. до н.э. индийский математик Пингала назвал треугольник «Лестницей горы Меру» , названной в честь священной индуистской горы.

В Иране он был известен как «треугольник Хайям» (مثلث خیام), названный в честь персидского поэта и математика Омара Хайяма .

В Китае математик Цзя Сянь также открыл треугольник. Он был назван в честь его преемника, «треугольник Ян Хуэй» (杨辉 三角).

Треугольник Паскаля можно создать с помощью очень простого шаблона, но он наполнен удивительными узорами и свойствами. Вот почему он очаровал математиков по всему миру на протяжении сотен лет.

Нахождение последовательности

В предыдущих разделах вы видели множество различных математических последовательностей. Оказывается, что многие из них также могут быть найдены в треугольнике Паскаля:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1

####{.btn.yellow}

Цифры в первой диагонали с обеих сторон все ,

####{.btn.orange}

Числа во второй диагонали с обеих сторон являются .

####{.btn.red}

Числа в третьей диагонали с обеих сторон являются .

####{.btn.purple}

Числа в четвертой диагонали являются .

####{.btn.blue}

Если вы сложите все числа в ряд, их суммы образуют другую последовательность: .

####{.btn.teal}

В каждой строке, которая имеет простое число во второй ячейке, все последующие числа этого простого.

####{.btn.green}

На диаграмме выше выделены «мелкие» диагонали разных цветов. Если мы сложим числа в каждой диагонали, мы получим

Конечно, у каждого из этих шаблонов есть математическая причина, которая объясняет, почему это появляется. Может быть, вы можете найти некоторые из них!

Другой вопрос, который вы можете задать, - это как часто число появляется в треугольнике Паскаля. Ясно, что существует бесконечно много 1s, один 2, и каждое другое число появляется , во второй диагонали с обеих сторон.

Некоторые числа в середине треугольника также появляются три или четыре раза. Есть даже несколько, которые появляются шесть раз: вы можете увидеть 120 и 3003 четыре раза в треугольнике выше, и они появятся еще два раза каждый в строках 120 и 3003.

Поскольку 3003 - это число треугольника, оно на самом деле появляется еще два раза в третьей диагонали треугольника, что составляет в общей сложности восемь вхождений.

Неизвестно, есть ли какие-либо другие числа, которые появляются в треугольнике восемь раз, или есть числа, которые появляются более восьми раз. Американский математик Дэвид Сингмастер предположил, что существует фиксированный предел того, как часто числа могут появляться в треугольнике Паскаля - но это еще не доказано.

делимость

Некоторые паттерны в треугольнике Паскаля не так легко обнаружить. На диаграмме ниже выделите все чётные ячейки:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1

Похоже, четное число в треугольнике Паскаля образует другой, меньший

Окрашивание каждой ячейки вручную занимает много времени, но здесь вы можете увидеть, что произойдет, если вы сделаете это для еще большего количества строк. А как насчет клеток, делимых на другие числа?

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1
1
19
171
969
3876
11628
27132
50388
75582
92378
92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
1
1
20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
1
21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
1
22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
23
253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
23
1
1
24
276
2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
1307504
735471
346104
134596
42504
10626
2024
276
24
1

Вот Это Да! Цветные клетки всегда появляются в (за исключением нескольких одиночных ячеек, которые можно рассматривать как треугольники размера 1).

Если мы продолжим узор ячеек, делимых на 2, мы получим тот, который очень похож на треугольник Серпинского справа. Подобные формы, которые состоят из простого шаблона, который, кажется, продолжается вечно, становясь все меньше и меньше, называются фракталами . Вы узнаете о них больше в будущем ...

Sierpinski Triangle

The Sierpinski Triangle

Биномиальные коэффициенты

Есть еще одно важное свойство треугольника Паскаля, о котором нам нужно поговорить. Чтобы понять это, мы попытаемся решить одну и ту же проблему двумя совершенно разными методами, а затем посмотрим, как они связаны.

СКОРО БУДЕТ