Последовательности и паттерныТреугольник Паскаля

Ниже вы можете увидеть числовую пирамиду, созданную с использованием простого шаблона: она начинается с единственной «1» в вершине, а каждая следующая ячейка является суммой двух ячеек, расположенных непосредственно выше. Наведите курсор на некоторые ячейки, чтобы увидеть, как они рассчитываются, а затем заполните недостающие:

На этом рисунке показаны только первые двенадцать строк, но мы можем продолжать бесконечно, добавляя новые строки снизу. Обратите внимание, что треугольник симметриченпрямоугольныйравносторонний , это может помочь вам рассчитать некоторые клетки.

Фигура называется [треугольником Паскаля] (gloss:pascals-triangle) в честь французского математика Блеза Паскаля . Он был одним из первых европейских математиков, исследовавших его закономерности и свойства, но треугольник Паскаля был известен другим цивилизациям много веков назад:

Треугольник Паскаля можно создать с помощью очень простого правила, но он наполнен удивительными узорами и свойствами. Вот почему он очаровывал математиков по всему миру на протяжении сотен лет.

Продолжить

Нахождение последовательности

В предыдущих разделах вы видели множество различных математических последовательностей. Оказывается, что многие из них также могут быть найдены в треугольнике Паскаля:

Конечно, у каждого из этих шаблонов есть математическая причина, которая объясняет, почему это происходит. Может быть, вы можете найти некоторые из них!

Другой вопрос, который вы можете задать, - это как часто число появляется в треугольнике Паскаля. Ясно, что существует бесконечно много единиц, одна 2, и каждое другое число появляется по крайней мере дваждыхотя бы один разровно два раза, во второй диагонали с обеих сторон.

Некоторые числа в центре треугольника также появляются три или четыре раза. Есть даже несколько, которые появляются шесть раз: вы можете увидеть 120 и 3003 появляются четыре раза, и они появятся еще два раза каждый в строках 120 и 3003.

Поскольку 3003 - это "треугольное" число, оно на самом деле появляется еще два раза в третьей диагонали треугольника, что дает нам в общей сложности восемь повторов.

Неизвестно, есть ли другие числа, которые появляются в треугольнике восемь раз, или есть ли числа, которые появляются более восьми раз. Американский математик Дэвид Сингмастер предположил, что существует фиксированный предел того, как часто числа могут появляться в треугольнике Паскаля - но это еще не доказано.

Делимость

Некоторые паттерны в треугольнике Паскаля не так легко обнаружить. На треугольнике ниже выделите все чётные ячейки:

Похоже, четные числа в треугольнике Паскаля образует другой, меньший треугольникквадратпрямоугольник.

Окрашивание каждой ячейки вручную занимает много времени, ниже вы можете увидеть, что произойдет, если вы сделаете это для большого количества строк. А как насчет клеток, которые делятся на другие числа?

Биномиальные коэффициенты

Есть еще одно важное свойство треугольника Паскаля, о котором нам нужно поговорить. Чтобы понять это свойство, мы попытаемся решить одну и ту же задачу двумя совершенно разными способами, а затем посмотрим, как они связаны.

СКОРО БУДЕТ