Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Последовательности и паттерныОсобые последовательности

Время чтения: ~45 min

Помимо арифметических и геометрических прогрессий, чисел Фибоначчи и фигурных чисел , существует множество интересных последовательностей, которые не следуют подобным правилам.

Простые числа

Один пример, который вы уже видели раньше, - это простые числа . Мы говорим, что число является простым, если оно не имеет никаких делителей, кроме .

Вот первые несколько простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , , , ,…

К сожалению, простые числа не подчиняются простому правилу или рекурсивной формуле. Иногда они появляются непосредственно рядом друг с другом (они называются числами-близнецами ), а иногда между ними возникают огромные промежутки. Похоже, они распределяются почти случайно!

Простые числа также не имеют простого геометрического представления, такого как треугольные или квадратные числа , но немного поработав, мы можем выявить интересные закономерности:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Если мы вычеркнем все числа кратные малым целым, все оставшиеся числа должны быть простыми. Этот метод называется ситом Эратосфена .

Если мы нарисуем диаграмму, которая поднимается на 1, когда встречается простое число, мы получаем «ступенчатую» функцию с интересными свойствами.

Вы можете узнать больше об этих и других свойствах простых чисел в нашем курсе Делимости и простые числа. Это одни из самых важных и загадочных понятий в математике!

Совершенные числа

Чтобы определить, является ли число простым , мы должны найти все его делители . Обычно мы перемножаем все делители, чтобы получить исходное число, но давайте посмотрим, что произойдет, если мы сложим все делители числа (исключая само число):

ЧислоДелителиСумма делителей
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
1
8
1
2
4
7
9
1
3
4
10
1
2
5
11
1
12
1
2
3
4
6
13
1
14
1
2
7
15
1
3
5
16
1
2
4
8
17
1
18
1
2
3
6
9

Давайте сравним эти числа с суммой их делителей:

Для большинства чисел сумма его делителей самого числа. Эти числа называются недосточными числами .

Для нескольких чисел сумма его делителей больше, чем само число. Эти числа называются избыточными числами.

Только одно число в приведенном выше списке имеет сумму делителей, равную себе же: . Это называется совершенным числом .

Следующее совершенное число - 28, потому что, если мы сложим все его делители, мы получим 1+2+4+7+14=28 , После этого совершенные числа появляются намного реже:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

Обратите внимание, что все эти числа . Оказывается, это все треугольные числа!

Совершенные числа были впервые изучены древнегреческими математиками, такими как Евклид , Пифагор и Никомах , более 2000 лет назад. Они вычислили несколько первых совершенных чисел и задались вопросом, могут ли cреди них быть нечетные числа .

В наши дни математики использовали компьютеры для проверки первых 10 1500 чисел (это 1, а затем 1500 нулей), но безуспешно: все найденные ими совершенные числа были четными. До сих пор неизвестно, существуют ли какие-то нечетные совершенные числа, что делает его самой старой нерешенной проблемой во всей математике!

Евклид Александрийский

Сиракузская последовательность

Большинство последовательностей, которые мы видели до сих пор, имели единственное правило или шаблон. Но нет причины, по которой мы не можем объединить несколько разных - например, рекурсивную формулу, подобную этой:

Если xn четное:xn+1=xn/2
Если xn нечетное:xn+1=3xn+1

Давайте начнем с x1=5 и посмотрим что получится

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Похоже, что после нескольких членов последовательность становится цикличной: 4, 2, 1 будет повторяться снова и снова, до бесконечности.

Конечно, мы могли бы выбрать другую отправную точку, например ${n} , тогда последовательность будет выглядеть так:

, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Кажется, что длина последовательности сильно варьируется, но она всегда заканчивается циклом из чисел 4, 2, 1 - независимо от того, какое первое число мы выберем. Мы даже можем отметить значения членов последовательности на графике:

Начальная точка:${n}

Обратите внимание, что последовательности с некоторыми начальными значениями заканчиваются очень быстро, а другие (например, 31 или 47 ) включают более ста членов, прежде чем они достигнут цикла 4, 2, 1.

Все последовательности, которые следуют этой рекурсивной формуле, называются Сиракузскими последовательностями. Члены таких прогрессий, кажется, движгаются случайным образом вверх и вниз до достижения цикла 4, 2, 1.

В 1937 году математик Лотар Коллатц предположил, что каждая сиракузская последовательность в конечном итоге заканчивалась циклом 4, 2, 1 - независимо от того, какое начальное значение вы выберете. Вы уже проверили несколько начальных точек выше, а компьютеры фактически перепробовали все числа до 1020 - это 100 миллиардов миллиардов или 1, за которыми следуют двадцать нулей.

Однако целых чисел бесконечно много. Невозможно проверить каждое из них, и никто не смог найти доказательство, которое работает для всех.

Как и поиск нечетных совершенных чисел, это все еще открытая проблема в математике под названием Гипотеза Коллатца. Удивительно, что эти простые начальные правила последовательностей могут привести к вопросам, которые на протяжении веков разгадывали самые лучшие математики в мире!

Последовательность «посмотри и скажи»

Вот еще одна последовательность, которая немного отличается от всех тех, что вы видели выше. Вы можете понять правило?

1 , 11 , 21 , 1211 , 111221 , 312211 ,…

Эта последовательность называется последовательностью Посмотри и скажи , и правило такое - запиши то, что говорит само название: вы начинаете с 1, и каждый следующий член - это то, что вы получаете, если вы «читаете вслух» предыдущий. Вот пример:

Теперь вы можете найти следующие члены?

..., 312211 , , ,…

Эта последовательность часто используется как загадка, чтобы сбить с толку математиков - потому что модель выглядит совершенно нематематической. Однако, как выясняется, последовательность имеет много интересных свойств. Например, каждый член оканчивается на , и ни одна цифра больше не используется.

Британский математик Джон Конвей обнаружил, что независимо от того, какое число вы выберете в качестве начального значения, последовательность в конечном итоге будет разделена на отдельные «секции», которые не взаимодействуют друг с другом. Конвей назвал это "космологической теоремой" и дал названия различным секциям, используя названия химических элементов: водород, гелий, литий, ..., вплоть до плутония.

Викторина о последовательности

Теперь вы видели бесчисленное множество различных математических последовательностей - некоторые основаны на геометрических фигурах, некоторые следуют определенным формулам, а другие ведут себя почти случайно.

В этом тесте вы можете объединить все свои знания о последовательностях. Есть только одна цель: понять закономерность и рассчитать следующие два члена!

Найдите следующее число

7 , 11 , 15 , 19 , 23 , 27 , , ,… Шаблон: + 4

11 , 14 , 18 , 23 , 29 , 36 , , ,… Шаблон: +3, +4, +5, +6,…

3 , 7 , 6 , 10 , 9 , 13 , , ,… Шаблон: +4, –1, +4, –1,…

2 , 4 , 6 , 12 , 14 , 28 , , ,… Шаблон: × 2, +2, × 2, +2,…

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , , ,… Шаблон: числа Фибоначчи

27 , 28 , 30 , 15 , 16 , 18 , , ,… Шаблон: +1, +2, ÷ 2, +1, +2, ÷ 2,…

1 , 9 , 25 , 49 , 81 , 121 , , ,… Шаблон: Квадраты нечетных чисел