Последовательности и паттерныВведение

Многие профессии, использующие математику, ставят себе целью поиск моделей - зависимостей, чтобы предсказывать будущее. Вот несколько примеров:

Профессиональные математики используют очень сложные алгоритмы для поиска и анализа всех этих закономерностей, но мы начнем с чего-то более базового.

Простые последовательности

В математике последовательность - это цепочка чисел (или других объектов), которые обычно подчиняются определенному правилу. Отдельные элементы последовательности называются членами .

Вот несколько примеров последовательностей. Можете ли вы угадать закономерности и рассчитать следующие два члена?

3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*, , … Правило: «Прибавляйте 3 к предыдущему члену, чтобы получить следующий»

4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*, , , … Правило: «Прибавляйте 6 к предыдущему члену, чтобы получить следующий».

3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*, , , … Правило: «Поочередно прибавляйте 1 или 3 к предыдущему номеру, чтобы получить следующий».

1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*, , , … Правило: «Умножайте предыдущее число на 2, чтобы получить следующее».

Точки (…) в конце просто означают, что последовательность может продолжаться бесконечно. Когда мы говорим про последовательности в математике, мы часто обозначаем каждый член отдельной переменной :

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Маленькое число после x называется индексом и указывает порядковый номер члена в последовательности. Тогда число, стоящее на _n-_ом месте в последовательности будет обозначаться xnxix2 ,

"Треугольные" и "квадратные" числа

Последовательности в математике не всегда должны состоять из чисел. Вот последовательность, которая состоит из геометрических фигур - треугольников увеличивающегося размера:

На каждом шаге мы добавляем еще один ряд к предыдущему треугольнику. Длина этих новых рядов увеличивается каждый раз на одну точку. Вы можете увидеть закономерность?

1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6* +7, +8, …

Мы также можем описать эту закономерность с помощью специальной формулы :

xn = xn−1 + n

Чтобы получить значение для n-го треугольника, мы берем суммарное количество точек в предыдущемпервомследующем треугольнике и прибавляем n . Например, если n = ${n} формула становится x${n} = x${n-1} + ${n} .

Если формула, которая выражает xn, содержит в себе предыдущие члены последовательности, то она называется рекурсивной формулой . Если вы знаете первый членпоследний члендва члена последовательности, то вы можете вычислить все следующие.

Другой последовательностью, состоящей из геометрических фигур, являются "квадратные числа" . Каждый новый член состоит из большего количества квадратов:

Для треугольных чисел мы нашли рекурсивную формулу, которая позволяет посчитать следующий член последовательности как функцию от его предыдущих членов. Для квадратных чисел мы можем сделать еще лучше: мы получим формулу, которая поможет находить n- й член напрямую, без необходимости сначала вычислять все предыдущие:

xn =

Это называется явной формулой . Мы можем использовать ее, например, для вычисления значения для 13-го квадрата ( ) без предварительного нахождения предыдущих 12-ти квадратных чисел.

Давайте соберем все определения, с которыми мы познакомились:

Фотография последовательности действий

В следующих разделах вы узнаете о множестве различных математических последовательностей, неожиданных шаблонах и применениях.

Во-первых, давайте посмотрим на что-то совершенно другое: фотография последовательности действий . Фотограф делает несколько снимков подряд, а затем объединяет их в одно изображение:

Вы видите, как лыжник формирует последовательность? Теперь правило не сложение или умножение, а геометрическое преобразование . Между последовательными шагами лыжник перемещается и вращаетсяотражаетсярасширяется .

Вот еще несколько примеров фотографии последовательности действий для вашего удовольствия: