Последовательности и паттерныВведение

Многие профессии, использующие математику, ставят себе целью поиск моделей - зависимостей, чтобы предсказывать будущее. Вот несколько примеров:

В последнее десятилетие полицейские по всему миру стали больше полагаться на математику. Специальные алгоритмы могут использовать данные прошлых преступлений, чтобы предсказать, когда и где преступления могут произойти в будущем. Например, система PredPol помогла снизить уровень преступности в некоторых районах Лос-Анджелеса на 12%!

Оказывается, что землетрясения происходят по закономерностям аналогичным преступлениям. Так же, как одно преступление может вызвать ответные меры, землетрясение может вызвать толчки. В математике это называется «процесс самовозбуждения», и есть уравнения, которые помогают предсказать, когда может произойти следующее землетрясение.

Банкиры также изучают исторические данные о ценах на акции, процентных ставках и курсах валют, чтобы оценить, как финансовые рынки могут измениться в будущем. Возможность предсказать, будет ли стоимость акций расти или падать, может быть чрезвычайно прибыльной!

Профессиональные математики используют очень сложные алгоритмы для поиска и анализа всех этих закономерностей, но мы начнем с чего-то более базового.

Простые последовательности

В математике последовательность

- это цепочка чисел (или других объектов), которые обычно подчиняются определенному правилу. Отдельные элементы последовательности называются членами .

Вот несколько примеров последовательностей. Можете ли вы угадать закономерности и рассчитать следующие два члена?

3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*, , … Правило: «Прибавляйте 3 к предыдущему члену, чтобы получить следующий»

4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*, , , … Правило: «Прибавляйте 6 к предыдущему члену, чтобы получить следующий».

3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*, , , … Правило: «Поочередно прибавляйте 1 или 3 к предыдущему номеру, чтобы получить следующий».

1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*, , , … Правило: «Умножайте предыдущее число на 2, чтобы получить следующее».

Точки (…) в конце просто означают, что последовательность может продолжаться бесконечно. Когда мы говорим про последовательности в математике, мы часто обозначаем каждый член отдельной переменной

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Маленькое число после x называется индексом и указывает порядковый номер члена в последовательности. Тогда число, стоящее на _n-_ом месте в последовательности будет обозначаться ???

"Треугольные" и "квадратные" числа

Последовательности в математике не всегда должны состоять из чисел. Вот последовательность, которая состоит из геометрических фигур - треугольников увеличивающегося размера:

На каждом шаге мы добавляем еще один ряд к предыдущему треугольнику. Длина этих новых рядов увеличивается каждый раз на одну точку. Вы можете увидеть закономерность?

1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6* +7, +8, …

Мы также можем описать эту закономерность с помощью специальной формулы

xn = xn−1 + n

Чтобы получить значение для n-го треугольника, мы берем суммарное количество точек в ???

треугольнике и прибавляем n . Например, если n =

формула становится x5 = x4 + 5 .

Если формула, которая выражает xn, содержит в себе предыдущие члены последовательности, то она называется рекурсивной формулой

. Если вы знаете ??? последовательности, то вы можете вычислить все следующие.

Другой последовательностью, состоящей из геометрических фигур, являются "квадратные числа" . Каждый новый член состоит из большего количества квадратов:

Для треугольных чисел мы нашли рекурсивную формулу, которая позволяет посчитать следующий член последовательности как функцию от его предыдущих членов. Для квадратных чисел мы можем сделать еще лучше: мы получим формулу, которая поможет находить n- й член напрямую, без необходимости сначала вычислять все предыдущие:

xn =

−

Это называется явной формулой

. Мы можем использовать ее, например, для вычисления значения для 13-го квадрата ( ) без предварительного нахождения предыдущих 12-ти квадратных чисел.

Давайте соберем все определения, с которыми мы познакомились:

Последовательность

- это ряд чисел, геометрических фигур или других объектов, которые изменяются по определенному правилу. Отдельные элементы в последовательности называются членами и обозначаются переменными, чаще всего xn ,

Рекурсивная формула

для последовательности помогает найти значение n- го члена как функцию, зависящую от ???. Вы также должны указать первый член.

Явная формула

для последовательности помогает найти значение n- го члена как функцию, зависящую от ??? , без ссылки на другие члены последовательности.

Фотография последовательности действий

В следующих разделах вы узнаете о множестве различных математических последовательностей, неожиданных шаблонах и применениях.

Во-первых, давайте посмотрим на что-то совершенно другое: фотография последовательности действий . Фотограф делает несколько снимков подряд, а затем объединяет их в одно изображение:

Вы видите, как лыжник формирует последовательность? Теперь правило не сложение или умножение, а геометрическое преобразование

. Между последовательными шагами лыжник перемещается и ??? .

Вот еще несколько примеров фотографии последовательности действий для вашего удовольствия: