Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Последовательности и паттерныВведение

Время чтения: ~25 min

Многие профессии, использующие математику, заинтересованы в одном конкретном аспекте - поиске моделей и способности предсказывать будущее. Вот несколько примеров:

В последнее десятилетие полицейские управления по всему миру стали больше полагаться на математику. Специальные алгоритмы могут использовать данные прошлых преступлений, чтобы предсказать, когда и где преступления могут произойти в будущем. Например, система PredPol (сокращение от «предиктивная полицейская деятельность») помогла снизить уровень преступности в некоторых районах Лос-Анджелеса на 12%!

Оказывается, что землетрясения следуют аналогичным схемам преступлений. Так же, как одно преступление может вызвать ответные меры, землетрясение может вызвать толчки. В математике это называется «процесс самовозбуждения», и есть уравнения, которые помогают предсказать, когда может произойти следующий.

Банкиры также изучают исторические данные о ценах на акции, процентных ставках и курсах валют, чтобы оценить, как финансовые рынки могут измениться в будущем. Возможность предсказать, будет ли стоимость акций расти или падать, может быть чрезвычайно прибыльной!

Профессиональные математики используют очень сложные алгоритмы для поиска и анализа всех этих паттернов, но мы собираемся начать с чего-то более базового.

Простые последовательности

В математике последовательность - это цепочка чисел (или других объектов), которые обычно следуют определенному шаблону. Отдельные элементы в последовательности называются терминами .

Вот несколько примеров последовательностей. Можете ли вы найти их шаблоны и рассчитать следующие два условия?

3, 6+3, 9, 12, 15, , … Шаблон: «Добавьте 3 к предыдущему номеру, чтобы получить следующий».

4, 10, 16, 22, 28, , , … Шаблон: «Добавьте 6 к предыдущему номеру, чтобы получить следующий».

3, 4, 7, 8, 11, , , … Шаблон: «Поочередно добавьте 1 и добавьте 3 к предыдущему номеру, чтобы получить следующий».

1, 2, 4, 8, 16, , , … Шаблон: «Умножьте предыдущее число на 2, чтобы получить следующее».

Точки (…) в конце просто означают, что последовательность может продолжаться вечно. Когда мы ссылаемся на подобные последовательности в математике, мы часто обозначаем каждый термин специальной переменной :

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Небольшое число после x называется нижним индексом и указывает положение термина в последовательности. Это означает, что мы можем представить n- й член в последовательности ,

Треугольные и квадратные числа

Последовательности в математике не всегда должны быть числами. Вот последовательность, которая состоит из геометрических фигур - треугольников увеличивающегося размера:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

На каждом шаге мы добавляем еще одну строку к предыдущему треугольнику. Длина этих новых строк также увеличивается на единицу каждый раз. Вы можете увидеть шаблон?

1, 3+2, 6+3, 10+4, 15+5, 21+6 +7, +8, …

Мы также можем описать этот шаблон с помощью специальной формулы :

xn = xn1 + n

Чтобы получить номер n-го треугольника, мы берем номер треугольника и добавьте n . Например, если n = ${n} формула становится Икс${n} знак равно Икс${n-1} + ${n} ,

Формула, которая выражает xn как функция предыдущих членов в последовательности называется рекурсивной формулой . Пока вы знаете в последовательности можно вычислить на всех следующих.


Другой последовательностью, состоящей из геометрических фигур, являются квадратные числа . Каждый член состоит из все более крупных квадратов:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

Для чисел треугольника мы нашли рекурсивную формулу, которая сообщает вам следующий член последовательности как функцию его предыдущих членов. Для квадратных чисел мы можем сделать еще лучше: формула, которая говорит вам n- й термин напрямую, без необходимости сначала вычислять все предыдущие:

xn знак равно

Это называется явной формулой . Мы можем использовать его, например, для вычисления числа 13-го квадрата без предварительного нахождения предыдущих 12-ти квадратных чисел.


Давайте суммируем все определения, которые мы видели до сих пор:

Последовательность - это список чисел, геометрических фигур или других объектов, которые следуют определенному шаблону. Отдельные элементы в последовательности называются терминами и представлены такими переменными, как xn ,

Рекурсивная формула для последовательности сообщает вам значение n- го члена как функцию Вы также должны указать первый термин (ы).

Явная формула для последовательности говорит вам о значении n- го члена как функции , без ссылки на другие термины в последовательности.

Фотография последовательности действий

В следующих разделах вы узнаете о множестве различных математических последовательностей, неожиданных шаблонах и неожиданных приложениях.

Во-первых, давайте посмотрим на что-то совершенно другое: фотография последовательности действий . Фотограф делает несколько снимков подряд, а затем объединяет их в одно изображение:

Вы видите, как лыжник формирует последовательность? Шаблон не сложение или умножение, а геометрическое преобразование . Между последовательными шагами лыжник переводится и .

Вот еще несколько примеров фотографии последовательности действий для вашего удовольствия: