Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Треугольники и тригонометрияКонгруэнтность треугольника

Время чтения: ~20 min

Теперь, когда мы можем проверить, могут ли три отрезка образовать треугольник, давайте подумаем, как на самом деле построить треугольник со сторонами заданной длины.

Нарисуйте треугольник, стороны которого имеют длины 4 см, 5 см и 6 см.

В поле слева нарисуйте самую длинную сторону треугольника, которая составляет 6 см. Теперь у нас уже есть две из трех вершин треугольника - задача состоит в том, чтобы найти последнюю.

Затем постройте окружность радиуса 4 см с центром в одной из вершин, и окружность радиуса 5 см с центром в другой вершине.

Третья вершина треугольника - это двух окружностей. Теперь мы можем просто соединить все три вершины, чтобы сформировать треугольник.

На самом деле окружности пересекаются : один раз в вершине и один раз внизу. Мы можем построить второй треугольник, и полученные два треугольника являются .

Признаки конгруэнтности

Возможно ли построить другой треугольник с теми же тремя сторонами?

Мы уже видели два треугольника выше, но оба они были конгруэнтными. Фактически, любые два треугольника, которые имеют одинаковую длину трех сторон, являются конгруэнтными. Это называется Признак конгруэнтности SSS («Сторона-сторона-сторона» или «Side-Side-Side»).

Теперь у нас есть два разных признака: признак «AA» («Угол-Угол» или «Angle-Angle») означает, что два треугольника , а признак «SSS» означает, что два треугольника . Есть еще несколько признаков конгруэнтности:

Два треугольника конгруэнтны если выполняется одно из условия ниже:

SSS

Три стороны равны.

SAS

Две стороны и между ними угол равны.

ASA

Два угла и между ними сторона равны.

AAS

Два угла и одна из сторон, не лежащая между этими углами.

Чтобы проверить, конгруэнтны ли два треугольника, вам просто нужно проверить одно из условий, описанных выше.

Как только вы поняли, что два треугольника являются конгруэнтными, то вы точно можете утверждать, что все их соответствующие сторон и углы конгруэнтны. Интересно отметить, что все условия состоят из разных элементов (либо стороны, либо углы)!

Построение треугольников

В начале этого раздела мы увидели, как можно построить треугольник, если мы знаем три его стороны. Точно так же, есть способы построить треугольники для каждого из условий конгруэнтности.

SAS

СКОРО - Анимация

Постройте треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 40° между ними.

Как и прежде, мы начнем с построения одной из сторон треугольника.

Затем используем транспортир, чтобы отмерить угол 40° от одной из двух вершин. Под этим углом мы проводим вторую сторону треугольника. Мы знаем, что эта сторона должна быть длиной 3 см, поэтому отмерим это расстояние линейкой, и отметим третью вершину треугольника.

Наконец, мы можем соединить последние две вершины, чтобы завершить треугольник.

Конечно, мы могли бы сначала нарисовать сторону 3 см или выбрать другую вершину, чтобы отмерить угол 40°. Однако во всех этих случаях полученные треугольники будут конгруэнтны.

ASA

СКОРО - Анимация

Нарисуйте треугольник с углами 70° и 50° и стороной 5 см между ними.

Начнем с построения первой стороны, используя линейку для построения отрезка длиной 5 см.

После используем транспортир и отмерим угол 70° от одного из концов отрезка и угол 50 ° от другой конечной точки. (Какой из концов не имеет значения - треугольники будут конгруэнтны.)

Пересечение построенных лучей дает третью вершину и завершает построение треугольника.

AAS

СКОРО - Анимация

Нарисуйте треугольник с углами 40° и 50° и стороной длиной 5 см, которая не лежит между ними.

Опять же, мы начнем с построения первой стороны треугольника длиной 5 см.

И снова мы будем использовать транспортир, чтобы отмерить угол 40° от одной из конечных точек, и построим вторую сторону треугольника.

Тем не менее, мы еще не знаем, где на этой стороне поставить точку - вершину треугольника. Давайте выберем любую точку на этой прямой, представим, что это третья вершина треугольника и отмерим от нее угол в 50°.

Как видите, это не работает: третья сторона еще не проходит через вершину A. Чтобы это исправить, нам просто нужно переместить ее: построим параллельную линию, проходящую через A. (Мы изучили как построить параллельные линии в предыдущем курсе.)

Теперь два угла вверху - это соответственные углы, поэтому они должны быть одинаковыми и равны 50°. Мы можем стереть первую прямую, чтобы получить достроенный треугольник по признаку AAS.

SSA

Конструкция SSA немного отличается. Возможно, вы заметили, что «SSA» не было в списке признаков конгруэнтности выше, поэтому условия SSA недостаточно для доказательства конгруэнтности двух треугольников. Мы покажем, почему:

СКОРО - Анимация

Нарисуйте треугольник со сторонами 4 см и 5 см и углом 50°, который располагается не между ними.

Начнем с построения первой стороны треугольника длиной 5 см.

Далее, отмерим угол 50° от одной из концов отрезка и построим вторую сторону треугольника. Тем не менее, мы еще не знаем, где поставить вершину на этой прямой.

Третья сторона должна быть длиной 4 см. Используя транспортир, мы можем построить окружность радиусом 4 см с центром в другой конечной точке. Третья вершина треугольника получится в пересечении окружности и второй стороны.

Однако мы получаем две точки пересечения! Эти два треугольника явно не конгруэнтны. Это означает, что есть два различных треугольника со сторонами 4 см и 5 см и углом 50°. Условия SSA недостаточно, чтобы подтвердить, что два треугольника конгруэнтны.