Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Треугольники и тригонометрияТеоремы синусов и косинусов

Время чтения: ~10 min

Пока все, что вы узнали о тригонометрии, работает только в прямоугольные треугольники. Но большинство треугольников не прямоугольные, и есть два важные теоремы, которые работают для всех треугольников

Теорема синусов
В треугольнике со сторонами a, b и c и углами A, B и C,

sinAa=sinBb=sinCc

Теорема косинусов
В треугольнике со сторонами a, b и c и углами A, B и C,

c2=a2+b22abcosC b2=c2+a22cacosB a2=b2+c22bccosA

СКОРО - Доказательства, примеры и приложения

Великое тригонометрическое исследование

Вы все еще помните квест найти самую высокую гору на Земле из введения? С тригонометрией у нас наконец появились инструменты, чтобы сделать это!

Геодезисты в Индии измерили угол между горизонтом и вершиной горы с двух разных позиций, на расстоянии 5 км. Результаты были 23° и 29°.

Поскольку угол α это смежный угол, мы знаем, что он должен быть °. Теперь мы можем использовать сумму внутренних углов треугольника, чтобы определить, что угол β равен °.

Теперь мы знаем все три угла треугольника, а также одну из сторон. Этого достаточно, чтобы использовать , чтобы найти расстояние d:

sin151°=sin
d=sin151°×5sin
=23.2 km

Есть один последний шаг: давайте посмотрим на большой прямоугольный треугольник. Мы уже знаем длину гипотенузы, но что нам действительно нужно, это . Мы можем найти его, используя определение синуса:

sin23°=
высота=sin23°×23
=8.987 km

И это очень близко к реальной высоте Эвереста, самой высокой горы на Земле: 8,848m.

Эти вычисления значительно упрощают сложнейшую работу, проделанную математиками и географами, работающими над Великим тригонометрическим исследованием. Они начинали с уровня моря на пляже, измеряли тысячи километров расстояния, строили геодезические башни по всей стране и даже учитывали кривизну Земли.