Глоссарий

Выберите одно из ключевых слов слева ...

Треугольники и тригонометрияТеорема Пифагора

Время чтения: ~25 min

Теперь мы достигли важной точки в геометрии - возможности сформулировать и понять одну из самых известных теорем во всей математике : Теорема Пифагора. Он назван в честь древнегреческого математика Пифагора Самосского.

Теорема Пифагора
В любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (сторона, противоположная прямому углу) равен сумме квадратов двух других сторон , Другими словами, {.text-center} a2 + b2 = c2 Обратное также верно: если три стороны в треугольнике удовлетворяют _{sup} 2 + b 2 = c 2, то это должен быть ._

Прямые углы повсюду, и поэтому теорема Пифагора так полезна. Здесь вы можете увидеть лестницу длиной 6 м, прислоненную к стене. Нижняя часть лестницы находится на расстоянии 1 м от стены. Как далеко он достигает стены? Обратите внимание, что есть прямоугольный треугольник, образованный лестницей, стеной и землей. Используя теорему Пифагора, мы получаем

h2+12 =62
h2 =
h =35=5.92m

Всякий раз, когда у вас есть прямоугольный треугольник и вы знаете две его стороны, Пифагор может помочь вам найти третий.

Доказательство теоремы

Пифагора Теорема Пифагора была известна древним вавилонянам, месопотамцам, индийцам и китайцам, но Пифагор, возможно, был первым, кто нашел формальное математическое доказательство. На самом деле существует много разных способов доказать теорему Пифагора. Здесь вы видите три разных примера, каждый из которых использует свою стратегию:

Перестановка

Have a look at the figure on the right. The square has side length a + b, and contains four right-angled triangles, as well as a smaller square of area .

Now let’s rearrange the triangles in the square. The result still contains the four right-angles triangles, as well as two squares of size .

Comparing the area of the red area before and after the rearrangement, we see that

a2+b2=c2.

This is the original proof that Pythagoras came up with.

Алгебра

Here we have the same figure as before, but this time we’ll use algebra rather than rearrangement to prove Pythagoras’ theorem.

The large square has side length a+b and area .

It consists of four triangles, each with an area of , and one square of area .

If we combine all of that information, we have

{.reveal(data-when="blank-3 blank-4")} И, снова, мы получим теорему Пифагора. _{span.qed}_
a+b2 =4×12ab+c2
a2+2ab+b2 =2ab+c2
a2+b2 =c2

Подобные треугольники

Here you can see another right-angled triangle. If we draw one of the altitudes, it splits the triangle into two smaller triangle. It also divides the hypotenuse c into two smaller parts which we’ll call x and y. Continue

Let’s separate out the two smaller triangles, so that it’s clearer to see how they are related… Continue

Both smaller triangles share one angle with the original triangle. They also all have one right angle. By the AA condition, all three triangles must be .

Теперь мы можем использовать уравнения, которые мы уже знаем о похожих многоугольниках:

xa=ac

x=a2c

yb=bc

y=b2c

Продолжить

Но помните, что c = x + y. Поэтому

c=a2c+b2c

c2=a2+b2

Еще раз мы доказали теорему Пифагора!

Многое о жизни Пифагора неизвестно, и ни одна оригинальная копия его работы не сохранилась. Он основал религиозный культ пифагорейцев, который практиковал своего рода «поклонение числам». Они считали, что все числа имеют свой собственный характер, и следовали множеству других странных обычаев.

Пифагорейцам приписывают множество математических открытий, включая поиск первого иррационального числа, 2. Нерациональные числа не могут быть выражены в виде простой дроби - концепция, которую пифагорейцы находили глубоко тревожной и (безуспешно) пытались скрыть!

Федор Бронников: «Пифагорейцы празднуют восход»

Расчет расстояний

Одним из наиболее важных применений теоремы Пифагора является расчет расстояний.

Справа вы видите две точки в системе координат. Мы могли бы измерить их расстояние с помощью линейки, но это не совсем точно. Вместо этого давайте попробуем использовать Пифагор. Продолжить

Мы можем легко сосчитать горизонтальное расстояние вдоль оси x и вертикальное расстояние вдоль _{688 г} ось. Если мы нарисуем эти две линии, мы получим прямоугольный треугольник.

Используя Пифагора,

d2 =${b.x-a.x}2+${b.y-a.y}2
d2 =${(b.x-a.x)*(b.x-a.x) + (b.y-a.y)*(b.y-a.y)}
d =${(b.x-a.x)**2+(a.y-b.y)**2}=${round(distance(a,b),4)}

Этот метод работает для любых двух точек:

Формула расстояния
Если вам даны две точки с координатами (x1, y1) и (x2, y2), расстояние между ними составляет

d2=x2x12+y2y12

d=x2x12+y2y12

Пифагорейские Тройки

Перемещая вершин треугольника на предыдущем шаге, вы, возможно, заметили, что в большинстве случаев длина гипотенузы d в конечном итоге была . Однако есть несколько примеров прямоугольных треугольников, где длины всех трех сторон оказываются целыми числами.

Один известный пример - треугольник 3-4-5. Поскольку 32+42=52, любой треугольник со сторонами длины 3, 4 и 5 должен быть прямоугольным. Древние египтяне не знали о теореме Пифагора, но они знали о треугольнике 3-4-5. При строительстве пирамид они использовали веревки с узлами длиной 3, 4 и 5, чтобы измерить идеальные прямые углы.

Три таких числа называются Пифагорейские тройки. (3, 4, 5) является одним из примеров пифагорейской тройки. Если мы умножим каждое число на 2, мы получим еще одну пифагорейскую тройку: (6, 8, ).

Мы можем рассматривать эти тройки как точки сетки в системах координат. Для действительных пифагорейских троек расстояние от начала координат до точки сетки должно быть целым числом. Используя приведенную ниже систему координат, можете ли вы найти другие пифагорейские тройки?

${a.x}
${a.y}
${round(a.length,2)} {.reveal(data-when="p0 p1 p2 p3 p4 p5")} Вы заметили какую-либо закономерность в распределении этих точек?